基于Forbes多项式的光学自由曲面面形描述方法研究(2)
自由曲面光学元件的应用却相当有限[5]
。这个问题的主要原因在于，相比较照明、显示等系统
对光学自由曲面面形质量在微米量级的要求，成像系统对其面形质量提出的要求更高，达到
了波长量级。与传统的球面、非球面光学元件相比，自由曲面光学元件是非旋转对称的，其
表面形状更自由复杂、梯度变化大[6-8]
，难以准确的描述其面形。目前世界上还没有统一完善
的自由曲面面形准确的描述方法，这已经和加工以及检测问题一起，成为制约该类元件发展
的瓶颈。对光学自由曲面的准确描述是光学设计和制造自由曲面光学元件的一个重要基础，
能否制作高精度光学自由曲面元件是衡量一个国家光学制造水平的一个重要指标。因此，为
了提高我国高精度光学元件的制造水平，满足各领域对自由曲面光学元件的巨大需求，必须
要解决如何准确描述光学自由曲面面形的问题。
1．2 光学自由曲面描述方法
目前国际上并没有成熟可靠的方法来准确描述自由曲面光学元件表面面形。国内外学者
对其描述方法的研究主要还是在成功描述非球面元件的方法的基础上，针对自由曲面的特性
及其具体应用进行改进，常用的自由曲面描述方法有：B样条法、Zernike多项式法、径向基
函数法、双变量正交多项式法、Forbes 多项式法。
1.2.1 B样条法
B 样条曲面拟合方法最初被用于机械上描述自由曲面，后来逐渐被研究人员应用于光学
领域。B 样条曲面是二阶连续的，阶次低（三次），拟合算法简单稳，精度高于多项式曲面，
只需较少的采样点就能对自由曲面进行一定精度的描述[9]
。B 样条法通过利用采样点对局部
区域进行拟合，再将各个子区域进行拼接得到整个面形。
该方法对局部面形和整体面形的描述有着相似的效果，具有较强的适应性。但是，在曲
面片拼接时，容易使得结合处不光顺，造成整个面形不连续，导致误差较大。Philipp Jester等
引入了小波分解法来解决这个难题[10]
，压缩了数据，同时提高了运算速度和精度，但是难以控制其逼近误差和边界条件。
1.2.2 Zernike多项式
Zernike 多项式对自由曲面的描述是以一个二次曲面为基底，叠加一系列 Zernike 项来完
成，表达式如下： 其中， k是圆锥系数， c 是曲率半径， N是 Zernike多项式的项数， r为归一化半径， Ai是 Zernike
多项式的系数。
Zernike 多项式的特点是：（1）在单位圆域内，Zernike 多项式各项正交，系数之间相互
独立、互不影响；（2）Zernike多项式与 Seidel 像差项相对应，为单独处理各像差，优化系统
提供了便利。但是，对局部凸起或凹陷的面形，Zernike多项式的面形描述能力较弱。
针对圆域正交的 Zernike 多项式不能适用于其他形状区域的不足，Mahajan 等以圆域的
Zernike多项式为基底，通过正交化构造出方域、环域以及优尔边形域内的 Zernike多项式[11-14]。
此外，由于光学自由曲面表面梯度变化较复杂，对其整体进行描述时，精度受到限制。
为此南京理工大学的叶井飞提出了“基于 Zernike 多项式和径向基函数的曲面重构方法”[15]。
该方法将整个面形分成多个变化较平缓圆域，在每个圆域内用 Zernike多项式进行拟合，再结
合径向基函数形成完整曲面。本方法对边缘区域描述能力较强，但内部梯度变化大的部分精
度偏低。而且，划分区域的过多或过少会导致子区域内的采样不足或过采样，也会影响面形