(1-1)

由上式还可以看出，当物体做简谐振动时，其加速度的大小总是与其位移的大小成正比的，但方向相反，这一结论通常作为简谐振动的运动学特征。简谐振动的解析解为

 (1-2)

即物体系作简谐振动。其中

(1-3)

是振动系统的固有圆频率。

1.2.2简谐振动的能量 

以水平方向作简谐振动的弹簧振子为例，取平衡位置为其坐标原点，则作谐振动的振子的运动学方程如（1-2）所示，那么物体运动的速度

(1-4)

则弹簧振子的动能和弹性势能分别为：

所以，弹簧振子系统的总机械能为：

(1-6)

上式说明：简谐振动系统在振动的过程中的动能和势能随时间的改变而改变，但是总的机械能在振动过程中是不变的。简谐振动系统的总能量和振幅的平方成正比，这一结论适用于任何的谐振系统。所以，弹簧振子的总能量不随时间改变，它的动能和弹性势能可以相互转化，但总的机械能保持不变。 

1.3非线性现象

然而振动并非总是简谐的，振动物体所受的回复力也不总是跟位移呈线性关系，自然界中存在着大量的非线性现象，比如孤立波、混沌和湍流。非线性振动是恢复力与位移不成正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。有一些现象无法用线性理论来解释，一般的线性相关的理论只适用于小运动方面，这就促使我们研究非线性振动。所以为了更准确地描述实际存在的物体的振动，我们需要考虑非线性回复力，即非谐相互作用。来!自-优.尔,论:文+网www.youerw.com

1.4几个典型的非线性晶格

物理学中常用的非谐相互作用模型包括FPU 模型[2]、Toda 模型[3][4]、Klein-Gordon 模型[5]、FK 模型[6]、φ4模型[7] 。

1.5.1 FPU模型

FPU模型是1955年Fermi Pasta Ulam等人提出用于描述一维非线性格点的模型，该模型是现有描述固体晶格非线性模型中广泛使用的模型之一，在一维非线性晶格和热传导现象研究中占有非常重要地位[2]。该模型假设原子间相互作用势能可以写为： 

 (1-7)

k2, k3, k4表示的是近邻格点的简谐、立方、四次方耦合强度[2]。FPU模型在非线性科学的发展过程中占有非常重要的地位。由于它的发现使得非线性科学的表现出的多种奇异现象开始被人们广泛关注，极大地促进了孤子理论的快速发展[2]。

1.52.Toda 模型

1967年日本物理学家Toda在研究非线性系统中的声波的传播现象中时建立了如下的哈密顿量可以表示为[3][4]：