摘 要：振动是一种普遍存在的物理现象，而单摆是一种能够产生往复运动的理想物理模型。本文从介绍振动现象和单摆开始，探讨了单摆小角度摆动时的运动方程推导以及大角度摆动时的变化，对大角度单摆摆动建立理论模型并利用龙格-库塔方法进行运动方程数值求解。最后通过数值计算分析研究周期与振幅的关系并与解析结果，并描绘单摆不同振幅时相空间的等能面。71480

毕业论文关键词：振动，单摆，龙格库塔，周期，振幅，相图

Abstract: Vibration is a ubiquitous physical phenomenon. Pendulum is a typical oscillator and an ideal physical model to study simple harmonic oscillation. However pendulum can be considered as simple harmonic oscillator only when the amplitude (θ0) is every small, e.g. θ0 < 5°. In this study, we exactly studied the oscillation of pendulum with large amplitudes by numerically solving equation of motion. We examined the dependence of period on the angle amplitude which is in good agreement with analytic results. Moreover, the isoenergic surface of pendulum in phase space is also explored as a function of the angle amplitude.

Keywords: Vibration, Pendulum, Runge-Kutta, Period, Amplitude, Phase diagram

目 录

1 引言 4

1.1 振动现象 4

1.2 单摆 4

1.3 运动方程的推导 4

2 数值计算方法 6

2.1 龙格库塔方法 6

2.2 龙格库塔方法的Matlab实现 7

3 计算结果及讨论 8

3.1 理论模型 8

3.2 运动方程数值求解 10

3.3 周期与振幅的关系 11

3.4 相图 12

结论 14

参考文献 15

致谢 17

1 引言

1.1 振动现象

振动(或称振荡)是物体的往复运动，是一个状态改变的过程，是普遍存在与自然界的一种现象。自然界无不存在振动，大至整个宇宙，小到原子粒子。各种各样的物理现象也都包含振动，如声、光、热等。在日常生活中也随处可见振动的存在：跳动的心脏、声带和耳膜的振动，都是人体最基础的功能；人的视觉靠接受光的刺激，而光本质上也是一种电磁振动；生活中不能没有声音和音乐，而声音的产生、传播和接收都离不开振动。在工程技术领域中，振动现象也比比皆是。例如，桥梁和建筑物在阵风或地震激励下的振动，飞机和船舶在航行中的振动，机床和刀具在加工时的振动，各种动力机械的振动，控制系统中的自激振动等等[1]。文献综述

1.2 单摆

单摆是一种理想的能够产生往复摆动的物理模型 ，将无重细杆或不可伸长的柔软细绳一端悬于重力场内一定点，另一端固定连接一个有一定质量的小球，这种结构就组成单摆。它由理想化的摆球和摆线组成，摆线由质量不计、不可伸缩的细线提供；摆球密度较大，而且球的半径比摆线的长度小得多，这样才可以将摆球看做质点。

：单摆1.3 运动方程的推导

作简谐运动的物体要受到回复力F的作用，而且这个回复力F与物体相对于平衡位置的位移x成正比，方向与位移x相反，用公式表示可以写成F kx，其中k是比例系 。对于质量为m的小球，假设t时刻（位移是x）的加速度为 a，根据牛顿第二运动定律 有：