摘 要: 本文利用分析力学的方法和量子力学中的不变本征算符法研究了耦合摆系统的振动频率及其对应的简正坐标。在惯性系的拉格朗日方程的基础上，通过引入广义惯性势，建立非惯性系下拉格朗日方程，并将它应用于研究转动参照系下耦合摆的问题。我们发现参照系转动角速度将大大影响耦合摆的小振动，只有当转动角速度较小时，耦合摆才能作小振动，这一条件对于地球自转而言是完全可以满足的。此外利用量子力学中的不变本征算符法研究小振动问题，结果表明量子力学的方法可以非常简便的解决耦合摆系统的简正模及其对应的振动频率问题。73143

毕业论文关键词: 耦合摆，拉格朗日方程，转动参照系，小振动，简正坐标

Abstract: In this paper, the vibration frequency of coupled pendulum system is studied by the method of analytical mechanics and the invariant eigen operator in quantum mechanics。 Based on the Lagrange equation of the inertial system, the Lagrange equation is established by introducing the generalized inertia potential, and it is applied to the problem of the coupled pendulum under the rotating reference frame。 We found out with reference to the shaft angular velocity will greatly influence the small vibration of coupled pendulum。 Only when the rotational speed is small, the coupled pendulums do the small vibration。 The conditions for the rotation of the earth is can fully meet。 In addition, using the invariant eigen operator method in quantum mechanics to study the problem of small vibration, the results show that the method of quantum mechanics can be very simple to solve the problem and the corresponding vibration frequency of the coupled pendulum system。

Keywords: Coupling pendulum，The Lagrange's equations ，Rotating reference frame，

          Small vibration，Normal coordinate。 

目  录

1 引言3

2 耦合摆模型4

3 分析力学方法的研究耦合摆问6

3。1惯性系下的耦合摆问题5

3。2转动参考系中的耦合摆问题7

4 量子力学中的方法研究耦合摆问题12

结　论15

参考文献16

致谢17

1 引言

耦合摆[1]是一种简单的力学模型，即一根弹簧将两个能够振动的单摆互相耦合起来作微小振动的一种力学模型。微振动是常见的物理现象，指振动对平衡位置即势能有极小值的位置的某种周期性偏离。在物理学研究中，研究振动系统的微振动问题具有深刻的含义。自然界中普遍存在着相互作用的振动系统，如电学中电容和电感耦合起来的振荡回路、固体物理学中晶格中相邻原子的振动模式以及光子和声子耦合产生的电磁耦合场，原子物理学中的分子光谱等都属于这类问题。对于一个自由度的振动问题，如弹簧振子、单摆，在之前的课本中已经详细讨论过。但对于两个及两个以上自由度的微振动问题由于涉及到多自由度，使得问题处理起来比较复杂，特别对于多自由度的振动系统，很难得到严格的解析解。本论文研究两自由度的耦合摆在平衡位置附近的小振动问题。尽管这只是两自由度问题的求解，但它包含了解决非线性力学体系在平衡位置周围作小振动的重要过程，对于多自由度问题深入思考有极大的帮助。文献综述

在力学问题的处理过程中，大多数是以牛顿运动定律来求解的。但是以牛顿运动定律处理质点组问题时，对质点组中每个质点均需建立二阶运动微分方程，当系统很大时，我们就需求解许多方程的二阶微分方程组。如果质点组还受到某种约束，因为约束反力是不知道的，还需加上约束方程，这就使得问题的求解更加复杂。18世纪，伴随着工业的迅速发展，在工程技术上急切需要解答这样一类有约束的多质点构成的质点组问题。1788年，拉格朗日出版一本重要论著“分析力学”。这本书中全部采用数学分析的思想来解答力学题目。分析力学回避了力、速度、加速度、动量等这些矢量及其运算，从分析系统的能量出发探讨物体的机械运动规律。分析力学中所涉及的量都是标量，如动能、势能、拉格朗日函数、哈密顿函数等等[1，2]。这给我们处理问题带来极大的好处。下面我们就从分析力学中最基本的方程---拉格朗日方程[1]出发应用于耦合小振动系统。当然振动系统在宏观和微观都普遍存在，在研究方法上我们除了考虑运用分析力学[1]方法还考虑利用量子力学的不变本征算符法[2]来分析和研究耦合摆的运动特性。