2 几种可激发模型

   非线性动力学是研究斑图动力学的核心理论，主要针对的是扩散系统。扩散系统三类，一是可激发系统，二是振荡系统，三是双稳系统，大多数产生螺旋波的系统都是延展的可激发系统。下面，我们主要讨论可激发系统中螺旋波。

首先，我们来认识一下什么是可激发系统。可激发系统是存在一个稳定的定态，当不受外界的刺激或者外界的刺激不够强，系统保持稳定的定态。如果外界的刺激达到或者超过一定的范围时，系统从偏离原来的稳定的状态到再次的回到定态的定态，这种性质为可激发性，我们称这样的系统为可激发系统。例如前面介绍的心脏中的心肌细胞，还有神经元都属于可激发系统。

最简单的可激发系统可用下面的双变量方程（FHN）描述[3]：文献综述

其中u,v是动力学变量，ε是一个小量，0<ε<1，由于ε的存在，使得u,v有不同的时间尺度。我们画出f(u,v)=0和g(u,v)=0的图像，如图a

由图像可知，g(u,v)=0的图像是一条直线，f(u,v)=0是一条N形的曲线，曲线可以分成三个部分，ab,bc和cd。Ab和cd斜率是负的，bc斜率是正的。当 时，u可能的值有三个可能的值。g(u,v)=0和f(u,v)=0相交f(u,v)=0的ab段上于p点，p点的系统的唯一一个定态解，说明系统是一个渐进稳定的。

当外界的刺激小于可激发的阈值时，系统很快的回到f(u,v)=0的曲线的上的p点，也就是定态点。

当外界的刺激超过可激发的阈值时，系统偏离了原定态，因为u的值远小于v的值，v稍微变化一点，而变量u迅速的变化，这样系统很快的激发到f(u,v)=0的bc段上，这段时间称为激发期。

当系统在cd段时，系统在达到顶点后，系统沿着f(u,v)=0的cd段又回到定态，这个过程叫做恢复期。

 人们针对具体的情况提出了很多的可激发系统的模型，从而更加方便的研究螺旋波的形成、特性及运动规律。下面我们介绍四种常采用双变量可激发的模型，分别是oregonator模型（俄勒冈模型），Fitzhugh-nagumo模型，barkley模型和bär模型。

2。1 oregonator模型（俄勒冈模型）

 1951年，苏联的学者boris pavlovich belousov在一次实验中，偶然的发现反应溶液的颜色时而呈现出淡黄色，时而变成无色，而这个过程变化是周期性的，这就是最早发现的在化学反应的化学振荡和斑图的现象。当时，有许多的科学家认为他是违背热力学第二定律的，因此，没能在正式的发表。

1958年，苏联zhobotinsky改进了belousov实验，改进了实验的配方，并加入指示剂，使得反应的溶液的颜色发生周期性的变化的现象更加的明显。在一些特别的条件下，体系呈现出同心圆和螺旋花纹Zhobotinsky的在化学反应有力的证明了化学系统能够产生化学振荡及螺旋波的斑图。Zhobotinsky和belousov的在化学实验中的发现现象，我们将其命名为BZ反应。

 1972年，美国的俄勒冈州大学，field，noges和koros利用FKN机制建立完善的描述BZ反应中出现的化学振荡和螺旋波的模型。这个模型就是俄勒冈模型。来*自-优=尔,论:文+网www.youerw.com

 反应机制[4]：其中 K1,k2,k3,k4,k5是反应的速率，h 是化学计量数，XYZ反应变量。因此考虑到扩散的影响，模型对应的偏微分方程：

光波是周期性的变量，从而导致反应中收到的光敏诱导的外力一般也具有与光波相同的周期性，我们用oregonator模型描述BZ反应时空动力学规律，该模型可以表示为二变量的微分方程形式[5]: