干涉图采样的非线性最小二乘拟合法测量球面曲率半径的研究(3)
1.3 本文采用的方法及所做工作
在章节1.2介绍的方法中，某些方法精度较高但依赖于昂贵的器材或是存在调节不易等问题。牛顿环法虽然容易操作但精度有限。在牛顿环法的基础上，我们采用了一种显微干涉技术与计算机数值方法相结合的数字化的测量方法，这种方法实验器材常见、操作简单且精度较高。使用Linnik显微镜得到待测球面的牛顿环干涉图，并通过CCD相机得到数字图像。在数字图像上，我们对牛顿环各阶圆环分别取多个点进行非线性最小二乘拟合，得到拟合的圆心坐标与各阶圆环的半径。由干涉原理可知：只要知道牛顿环任意两阶圆环的半径和阶数即可求得球面的曲率半径。通过多阶圆环的任意组合，并对得到的曲率半径求平均，即可得到实验结果。该实验方法使用了非线性最小二乘法，充分利用了干涉图上的信息，同时多次求平均减少了过程中的误差，故具有较好的精确度。
2 测量方法原理
2.1 最小二乘拟合法数学原理
变量之间的关系更多地表现为非线性特征。线性模型作为基础模型是非线性的近似，即任何非线性模型都可以通过线性模型来近似表达。比如，模型 通过泰勒级数展开表述为
模型 的线性近似表达式为
线性模型对非线性模型的近似程度取决于高阶部分是否充分小。即使在样本内线性模型能够较好地拟合数据，也不能准确地体现变量的结构关系。非线性模型中，x对y 的边际影响（或弹性）是变化的；而线性模型中，x对y 的边际影响（或弹性）是常数。很多情况下，线性模型与非线性模型对边际影响或弹性的估计存在非常大的差异。另外，利用线性模型拟合非线性数据存在潜在的危险，即区间外预测会存在越来越大的误差。因此，正确设定模型的形式是进行准确推断和预测的重要环节。
对于一般的回归模型，如以下形式的模型，
普通最小二乘法(ordinary least squares, OLS)一般不能得到其解析解。比如，运用OLS方法估计模型2.1，令S(β)表示残差平方和，即
最小化S(β)，即根据一阶条件可以得到
以模型 为例，其一阶条件为
上述方程组没有解析解，需要一般的最优化方法。很多数值最优化算法都可以完成这一类任务，这些方法的总体思路是一样的。即从初始值出发，按照一定的方向搜寻更好的估计量，并反复迭代直至收敛。各种不同的最优化算法的差异主要体现在三个方面：搜寻的方向、估计量变化的幅度和迭代停止法则。我们这里介绍介绍非线性最小二乘法。
非线性最小二乘法的思路是，通过泰勒级数将均值函数展开为线性模型。即，只包括一阶展开式，高阶展开式都归入误差项。然后再进行OLS回归，将得到的估计量作为新的展开点，再对线性部分进行估计。如此往复，直至收敛。
设模型存在(k+1)个参数(0, 1 , …, k)。首先为参数选择一组初始值 。其中下标零表示初始值。然后将f (X, β) 按泰勒级数在 0点展开。
(2.2)
其中g0表示一阶导数在 0=( 0, 0 , 1, 0 , …, k, 0)时的取值，R为高阶部分。上式中只保留 的线性部分，将高阶部分归入误差项，可得
(2.3)