1 时滞系统是泛函数的微分方程。在时滞系统这个领域，一直吸引这广大的科技工作者进行研究，自上世纪六十年代开始至少有三十本这方面的英文专著[1]出版发行。 对于时滞系统稳定性的研究可以分为频域法和时域法。频域法就是用代数手段来解决问题，通过系统特征根的分布来判断系统稳定性的方法，由于这个方法涉及到了特征根，所以无法处理具有时变时滞或者不确定性的时滞系统。频域法是使用Lyapounov（李雅普诺夫）第一法解被控系统的特征方程，将所得的所有的特征值都置于复平面的左半平面内[14]。时域法主要有Lyapnov-Krasoskii（李雅谱若夫-拉索夫斯基）函数法和Razmikhin-Lyapnov泛函数和时滞不等式法，上述方法是Krasoskii和Razmikhin在1960年附近发现的。由于时域法完善了频域法不能解决参数摄动的问题，计算过程简便。现在已经成为了不确定时滞系统稳定性分析及其控制器设计的重要工具，并且在工程设计上的优势极为显著[15]。86064

现在看来，因为频域方法不适合用来解决有关时变时滞的问题，所以现在对于时变时滞的情况主要使用时域解析法：第一种方法是Lyapunov李雅普诺夫泛函数法， Lyapnov函数一般都是用来分析时滞为常数的线性系统，并且可以令Lyapuov函数离散化处理。最后的解可以使用LMI（线性矩阵不等式）来求的。所以使用这种办法得出的结果与实际值十分的接近，但算法复杂。这种方法适用于时滞为常数的系统，无法计算时变时滞系统，而且很难拓展到综合性问题的研究[16]。所以这种方法从上世纪九十年代被提出之后鲜有人进行研究探索，并没有被大量使用。

时域的分析方法主要依据两个的定理：Lyaounov-Krasovskii稳定性定理和Lyaounov-Razumikhin稳定性定理。这两个定理分别由俄国科学家Krasovskii

和Razumikhin在1950年代提出这个定理核心方法是先假设一个合适Lyaonov-Krasoskii泛函数或Lyaonov函数,获得系统稳定的充分性条件。然而怎样去构造合适的Lyaounov-Krasovskii泛函,却没有定论。直到1990年代,线性矩阵不等式（LMI)技术的发现让构造李雅普诺夫函数变得非常方便。一直以来，研究者们重点关注东西是：系统的稳定性和鲁棒性，无记忆和有记忆的滤波器设计等方面[5][6]。研发者们使用矩阵方程（riccat)和线性矩阵不等式（LMI)[17][18]。尤其时线性矩阵不等式（LMI)可变化为关于凸优化的问题,因此我们可以运用电脑程序进行解答。,所以这个方法被大范围的运用，诞生了许多研究成果。

在18世纪，以Euler,Bernoulli,Lagrange为代表的一些数学家进行了泛函数微分方程的研究，因为工程领域，化学领域需要建立模型进行更深入的研究，在1900年代，因为时滞系统是泛函数微分方程。所以时滞系统越来越受到学者们的关注。直到上世纪四十年代，时滞系统终于变成一个真正的研究项目被大家关注。在上世纪四十年代，Cheotarev发表了一篇拟多项式Routh-Hurwtz（劳斯-赫尔维茨）判据的论文[9]；1942年，Pontyagin得出了拟多项式零点这个问题的原因 [9]；1948年，Myshksz在他的论文中描述了了有关初始值的猜想，但并没有很好的结果[9]。直到1956年，Krasovskii提出了判断时滞系统稳定性的Lyapunov-Krasovskii（李雅谱若夫-拉索夫斯基）定理[9]，这里发明了两种分析系统稳定性的办法：第一法是用微分方程来解决稳定性；第二法更加的精妙，使用一个和微分方程有关系的被Lyapunov命名为李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。所以第二法也被叫做直接方法，这个第二法在很多方面都得被广泛使用。从上世纪六十年代开始，Lyapunov第二法被研究人员用来解析线性系统的操控问题，随后这个第二法也被用来处理时滞系统的研究。所以渐渐地，Lyapunov两种方法成为人们分析时滞系统的主要工具，Lyapunov方法的优点在于解析方法的统一，所有的疑问都可以转变成一个Riccati方程来解决；而且Lyapuno分析法可以使用的范围更加广泛，无论是参数变化还是时滞现象都可以处理，所以Lyapunov法在实际的生产生活中有宽广的运用。