AP=                                             （3-1） 

来表示 p 的位置。其中Px  Py  Pz是点 p 在坐标系{A}的 x 轴、y 轴、和 z 轴的坐标分量。参考坐标系{A}用AP的上标 A 来表示，如图 2-1。

                      图 3-1  位置表示 

3。1。2  方位描述 

    研究机械手的操作和运动，不仅要给出空间某连杆的位置，而且还要把它的方位表示出来。方位的表示可以借助于此连杆上的坐标系。有一个直角坐标系{B}附加在刚体 B 上，刚体 B 的方位可以用坐标系{B}坐标轴上的单位矢量xb，yb，zb相对于参考坐标系{A}的方向余弦来描述。

    R=[AxB  AyB  AzB]=                     （3-2） 

    R称为旋转矩阵[6]。式中，参考坐标系{A}用上标 A 来表示，被描述的坐标系{B}用下标 B 来表示。R共有 9 个元素，其中只有三个是独立的。空间某物体相对于 x轴转动 θ 角度，可以用式（2-3）来表示旋转矩阵。同理，相对于 y 轴和 z 轴的旋转矩阵可以用式（2-4）和（2-5）来表示。 

   R(x,θ)=                                （3-3）

   R(y,θ)=                                （3-4）

   R(z,θ)=                                （3-5）

    式中 s 表示 sin，c 表示 cos，下文中公式的符号全部采用这种简写表示。

3。1。3 位姿描述 文献综述

对于空间中的某刚体 B，若要将刚体 B 的位姿（位置和姿态）描述出来，需要在刚体 B 上固接一个坐标系{B}，然后通过坐标系{B}的原点相对于参考坐标系{A}的位置和方位来描述刚体 B 的位姿。刚体 B 的位姿描述如下：

 {B}={R  APB0}                              （3-6）

其中APB0，R分别表示坐标系{B}相对于坐标系{A}的位置和方位。 

3。1。4  平移和旋转变换 

如图 3-2 所示，空间一点 p 在坐标系{A}中表示为Ap，在坐标系{B}中表示为Bp，则Ap 和Bp 的关系为：   

                 Ap =RBp+APB0                                             （3-7）

            图 3-2  空间一点在坐标系{A}和{B}中的位置 

3。1。5  平移和旋转的齐次坐标变换 

    变换式（3-7）不是齐次的，为了描述方便，可以写成等价的齐次变换形式： 

=                          （3-8） 

    这种齐次变换形式将会给以后的运算带来极大的方便。可把上式写成矩阵形式： 

 Ap=TBp                                    （3-9） 

    式中，Ap和Bp都是 4×1 的列向量，比式（3-8）中的Ap和Bp 多了一维，即在原来列向量的末尾添加了第四个元素 1。T是一个 4×4 的齐次变换矩阵：