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2 分数阶微积分
本章主要分析了分数阶微积分的几种定义，分数阶微积分的性质，分数阶微积分的积分变化和分数阶微分方程的解法，这些分数阶微积分的数学研究成果是发展分数阶控制理论的基础。
2.1 分数阶微积分的定义
分数阶微积分是一种可以求任意阶次的积分和导数的理论，如下是连续的分数阶微积分算子定义形式：
(2-1)
式中，a，t分别是微积分的上、下限；α为任意复数。目前情况下已经有了多种分数阶微积分的函数定义。常用的有GL定义、RL定义、Caputo定义等。
（1） GL定义
GL定义是一种广泛使用的分数阶微积分定义形式，它的数学表达式为：
(2-2)
在公式中，[x]表示x的整数部分， 为函数(1-z)¬¬α的多项式系数，用下列递推公式可以求出这个多项式系数：
(2-3)
则GL的定义式可以改写成：
(2-4)
从上面的式子看出，用一个足够小的步长h（仿真时即仿真时间步长），即可以近似的求出该微分函数的数值解来。限定-1<α<1，如果微分阶次的绝对值大于1，那么可以用整数阶和分数阶相乘的形式来表示。
由以上式子可以看出，在某一个时刻函数的分数阶微分知由前面所有采样时刻的函数值来共同决定，这说明分数阶微分是非局部算子，即分数阶微分具有记忆性，这和整数阶微分有明显的不同。也正是因为这一特性，让分数阶微分在辨识具有记忆性的系统模型参数时具有独特的优势，但是与之相来的，是计算分数阶微分需要大量的数据计算的缺点。通过观察式2-3，可以发现随着项数j的增大， 是逐渐衰减的，这说明在当前时刻的分数阶微分值，越早的时刻的函数值对它的影响就越小，所以在计算 时，可以对所需计算的数据量作截短处理。假设取时间长度L，则式2-4的近似表达式为： (2-5)
（2） RL定义
GL定义需要很强的条件，Letnikov提出了另外一个弱化条件的表达式，它的积分形式为：
(2-6)
其中，0<α<1，且a为初值， 为Euler Gamma函数，D左右两侧的下标分别表示积分式的下限和上限
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