第二章 预备知识和相关理论

本章讲述了研究多智能体需要提前了解和学习的相关知识，方便下面对智能体 的研究。

2。1 本文中常用的记号

我们学习数学知道，复数集用 C 表示，整数集用 Z 表示，实数集用 R 来表示。Rm

表示 m 维实向量空间， Rmn 表示 m n 维的实矩阵空间。

用 I p 来表示 p 阶单位矩阵，1p

。如果没有特别的

提示或说明用 0 代表适当维数的向量或矩阵。

复数 s 的模用 s 来表示， Re s和 Im s用来表示着复数的实部和虚部。 符号函数用sgn来表示。

向量 v v ,, v Rp 和标量R p ，用 v 来表示向量 v 的第 l 个元素。对角矩 阵

2。2  矩阵论中的几个定理：

（1） 矩阵的 Kronecker 积定理：A a  



矩阵 A,B,C,D,满足下列等式 A BT    AT   BT ,A  BC  AC  B C ,

ABCDA CB D。

（  2    ） Gerschgorin 定  理  ： 设

G z : z a  R , z C称为在复平面上圆域矩阵 A 的第 i 个 Gerschgorin 圆。矩阵 A

特征很都落在 n 个 Gerschgorin 圆的并集中。

（3）Schur 补定理：设 S 是分块矩阵且 S S21

，则满足条件 S 0 当且仅22 或等价于

2。3  图论的基本知识

多智能体系统中的智能体通信网络我们用通信拓扑图来表示，我们把该拓扑图记 为 g v,，节点集合用 v 1,, n，边集用 表示，智能体 i 能够接收智能体 j 的信 息用 j,i表示。若 i, j 时，有 j, i，则称图 g 为无向图。如果一个智能体 系统的通讯拓扑图中所有的信息交换都是无向的，那么这个系统的通讯拓扑图称为无 向图。

通讯拓扑图一个重要的特性是连通性。无向图的连通的条件是：对于任意节点 i 和 j ，都存在由 i 到 j 的路径。有向图连通的条件比无向图的苛刻，只有有向图中两个 节点的路径是有向的，有向图才是连通得到。有向图的连通性可以分为强连通和弱连文献综述

通。强连通是指对于任意的节点 i 到节点 j 存在有向路径。弱连通指对于任意两个节

点 i 和j ，只要存在 i 到 j 或j 到 i 的有向路径就可以。

邻接矩阵用 A a 表示， a

0 表示矩阵元素。若 j,i，则 a

0 ，反之aij  0 ，节点 i 到节点 j 的权重 用 aij  来表示。定义节点 i 的入度和出度分别为 

degin i  aij  、 degout i  aij  。如果 degin i  degout i，称 g 为平衡图。

引入图 g  的拉普拉斯矩阵 L D A 有助于更好地研究智能体系统的一致性。其

拉普拉斯矩阵 L 具有以下性质;

（1）L 的所有特征根具有非负实部，0 是 L 的一个特征根，对应的特征向量为 1n  。

（2）若有向图 g 包含一棵生成树，也就是图 g 是连通的，那么图 g 的拉普拉斯 矩阵 L 有且仅有一个特征根为零。

（3）当图 g 为无向图时，则图 g 的拉普拉斯矩阵 L 是对称矩阵，而且是 半正定的，且 L 的特征值满足如下关系：

0 1  2   n来~自,优^尔-论;文*网www.youerw.com +QQ752018766-