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3.3 杆的刚度、方柱和杆
基于尺寸的轧机和材料特性的主要成分，在组件之间的连接刚度如表2示。在此表中，一些移动接头的连接非控制。然而，由于在一定的相对运动阻力，产生了一个非常小的等效刚度以及可以被假定为第一。因为有阻尼杆和轴承座孔之间，在该位置处的刚度被假定为零，以及阻尼是第四节中加以讨论。
得出结论，在横向、轴向和扭转振动彼此依赖性。因此，梁单元的空间传递矩阵如下所示：
其中，转移矩阵U可以通过以下方式获得，作者Luo（1989）研究的横向、轴向和扭转振动的梁单元和它的每个元素可以由平面传输矩阵相结合的平面传输矩阵。
第二，弹性支承元件的空间传递矩阵如下所示：
V6*6=图（a，b，c，d）；a=kx，b=-ky，c=-kz，d=kxˊ，e=kyˊ，g=kzˊ。
第三，弹簧连接元件的空间传递矩阵如下所示：
V6*6=图（a，b，c，d，e，g）；a=1/kx，b=-1/ky，c=-1/kz，d=1/kxˊ，e=1/kyˊ，g=1/kzˊ。
3.5 Riccati变换传递矩阵
链辊系统传递矩阵的特征值是由Rui（2008）引入Riccati变换的整体传递矩阵法的基础上计算的。
一个点的状态向量基于Riccati传递矩阵方法分解成两部分：
其中Pa包含了一半的状态向量元素，其值是零，而Pb包含另一半的状态向量元素的值，但其值是未知的。
T11、T12、T21、T22是传递矩阵的子矩阵。
Riccati变换为Pa,i= SiPb,i（Si为Riccati传递矩阵），然后Riccati传递矩阵的递推公式可以以下方式获得，即Si+1=（T11Si+ T12）（T21Si+ T22）-1。
清楚的是S1=0。S2，S3，•••Sn+1可以计算出S1。根据边界条件的自由振动，Sn+1的行列式是零，这是系统的频率特性方程。固有振动频率，可以通过以下方式获得解的方程，并可以计算模态振型。
4 数值模拟和实验的结果
4.1 摩擦阻尼和转换的空间转移矩阵
由于沉重的轧制负荷，轧辊轴承座孔和球形焊垫之间的摩擦阻尼不能忽略不计，并且在水平和轧辊的轴向方向上有很大的影响。
在油润滑的摩擦阻尼非粘性阻尼的条件下，它可以简化为一个等效的粘性阻尼，Ni（1986）提出的等效粘性阻尼系数可表示为：
其中f是摩擦力，µ是摩擦系数，N被滚动载荷，ω是频率和B是振幅。
在一定的润滑条件下，µ为0.1，滚动载荷N为160kN。为了证明频率的阻尼效果，无阻尼系统的频率ω代入，B通过位移传感器，并在实验中获得的在水平方向和轴向方向中的值见表3。由此可以看出，无间隙轧机的振幅比有间隙轧机低十倍。
考虑到阻尼系统的空间传递矩阵考虑摩擦阻尼的效果，可以通过以下方式获得系统的无阻尼，即-λ2代替ω2，k+Cλ代替k，其中λ=λr+jλi，λ是复合频率的实部为衰减系数λr和虚数部λi是系统的固有频率和阻尼。
4.2 复合频率
频率特性方程△(λ)=0和考虑阻尼是负数的特征值λ，则需要牛顿迭代法解方程：
λ=λr+jλi，△(λ)= △r(λ)=j△i(λ)，△＇(λ)=(∂△i/∂λi)- j(∂△r/∂λi)
实验上进行无间隙高刚度轧机验证数值计算的结果。使用遥测的YDSP动态测试系统的力学参数的垂直，水平和轴向方向上的振动光谱固定在驱动侧上的上，下轧辊轴承座的底部与加速为50kH的采样频率，可以通过以下方式获得。数值模拟结果与实验结果列在表4中。
结果表明：（1）对于每个轧机无间隙的自然频率，数值模拟结果基本与实验结果一致；（2）无论是考虑阻尼，每个自然频率无间隙轧机，与轧机间隙相比，其固有频率显着增加，尤其是第一阶和第三阶的固有频率增加了四倍；（3）对于复杂的任一频率的两个轧机，按照频率顺序增加，实部为λr基本上增加和虚部λi和按相同的顺序增加的ω之间的差异，即阻尼固有频率的影响变得明显；（4）当阻尼和无阻尼固有频率相同的顺序，前者是大于购买轧机有间隙，而前者低于购买轧机无间隙，即阻尼固有频率的两个轧机的效果是不同的。
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