非正常积分的敛散性的判定和计算(2)
结 论 28
致 谢 29
1 引言
关于定积分的讨论是在两个基本限制下进行的：被积函数的有界性以及积分区间的有穷性两个性质。但是在很多实际问题中我们常常需要突破这些限制，突破积分区间的有界性和被积函数的有穷性去考虑在无穷区间上的积分或者是无界函数的积分，这种情况下我们便引入了非正常积分，也叫反常积分（以下均称之为反常积分）。反常积分的收敛性和发散性的判定和反常积分的计算是数学分析中的重要课题，目前来说，反常积分的敛散性判定方面的研究取得了很多成果，如：高等教育出版社出版的华东师范大学数学系的《数学分析》上册中对反常积分的定义，性质和应用及其判别反常积分收敛性的一些方法。赵德让的《关于广义积分的判敛》[1]指出了广义积分的比较判敛法的一些明显的弱点，并给出了根植判别法以弥补不足之处。何美在其《反常积分敛散性数列式判别法》[2]更加丰富了判敛的方法，郭才顺，黄绍斌两人再一次给出了《正函数广义积分敛散性的两个判别方法》[3]。赵艳辉《关于无穷积分收敛性的集中新的判别方法》[4] ，深入的研究无穷积分数项级数之间的关系，得到了相关的判断收敛性的方法。吴旻诚也提出了导数自比法来判别反常积分的敛散性[26],边平勇在《反常积分敛散性极限审敛法的定价定理》[5]中将无穷积分及无界函数积分的被积函数运用无穷小和无穷大比较的方法进行了比较，提出来通过极限审敛法的一些等价定理来判定反常积分的敛散性，并给出了证明，因此可以运用这些等价定理去灵活的判断该反常积分的敛散性。徐晶发表了《一种反常积分和正项级数收敛的判别法》[20]，利用了正项级数的收敛判别方法推广到反常积分中，蒋良军，许永平在《正函数广义积分收敛性的一个判别法》[6] 一文通过研究正函数广义积分的敛散性问题，从被积函数本身的一些相关性态出发，得到一个新的审敛法则，这是对dalembert审敛法和双比值审敛法进行了进一步的推广扩充。
为了使离散和连续分析统一起来，aulbach和Hilger曾在文献[7,13]]中介绍过时间尺度上的计算。在文献[7,13]（或[8]）中；作者通过函数的不定积分来定义时间尺度上的非正常积分，也称之为Cauchy积分。在文献[13]和[3,4,5],分别介绍了Darboux和Riemann的时间尺度上的积分的定义，并且建立了积分计算的主要定理。在这篇文章中，我们考虑文献[3,4,5,7]中没有涉及的时间尺度上非正常积分的一些中值定理问题，以及研究时间尺度上的非正常积分在无穷区间上的动力系统中的重要性。
2 反常积分的定义和基本性质
2.1 反常积分的定义
以下定义2.1,2.2出自高等教育出版社出版的第四版《数学分析》上册。
定义2.1 设函数 定义在无穷区间 上，且在任何有限区间 上可积。如果存在极限
（1）
则称 为函数函数 在区间 上的无穷限反常积分（通常简称无穷积分），记为
（1，）
并称 收敛。如果极限（1）不存在，为方便起见，我们也称 是发散的。
类似的，可以定义 在区间 上的无穷积分。
定义 2.2 设函数 在点区间 上，在 点的任意的右领域上无界，但在任何内闭区间 上有界且可积，如果存在极限