一类扩充Goodwin振子的动力学行为+源代码(2)
图1是构成计算基础的基因调控脚本。该扩充Goodwin振子中的调控分子有：催化酶、促进蛋白和阻抑蛋白。催化酶能够控制酶促反应的活动，而促进蛋白和阻抑蛋白能够调控一个基因的转录活动，基因的转录活动可以分为三个状态。
(1): “裸露”DNA，有较低或基础的转录状态（基础状态）。
(2): 当只有促进蛋白结合到基因的调控区，转录上升到正常水平（活跃状态）。
(3): 只要结合了阻抑蛋白，无论促进蛋白有没有被结合，转录都是不活跃的状态（非活跃状态）。
基因调控的基本原则[21]
注： 此图草拟了原核生物细胞中的基因（如在大肠杆菌中发现的lac基因）活动的调控机理。基因的活动状态有三种，这是由介质中的葡萄糖和乳糖的存在和缺失所决定的。状态1，基础状态，称为“基础转录”，发生在营养存在的时候，它的特点是低级的转录。无论是促进蛋白（CAP蛋白）还是阻抑蛋白都没有结合到DNA上对应的结合位点。状态2，是由于葡萄糖的缺失和乳糖的存在所引起的“活跃状态”， CAP蛋白结合到DNA上对应的结合位点，但阻抑蛋白没有与DNA结合。状态3，无论是否存在葡萄糖，只要乳糖不存在，基因都处于“非活跃状态”，DNA和阻抑蛋白结合，转录被阻抑。
本文考虑调控作用：12，21，13，其中1和2表示基础交叉调控系统的两种基因G_1和G_2，3表示酶促反应的底物S。本文不考虑基因的基础转录对整个扩充Goodwin振子调控活动的影响。由于调控分子往往是活跃的多聚物，因此我们还应考虑多个分子结合的情况。我们规定基因和底物与调控分子在调控作用生效之前就已经结合了。通过将转录mRNA翻译成蛋白调控因子，完成了基因调控系统。mRNA、蛋白质和酶促反应的产物这三类分子，都通过一阶反应进行降解。假设酶促反应的底物浓度和DNA的浓度恒定不变。转录、翻译和降解是多步骤的过程，每一个步骤都遵循相应的反应机制。对于转录和翻译过程，我们使用简单的一级转录和一级翻译的动力学表达式。
该类扩充Goodwin振子的调控机理
注： 基因G_1转录生成mRNA Q_1，Q_1翻译生成蛋白质P_1，P_1既对基因G_2的转录活动有阻抑的调控作用，又对酶促反应的底物S生成产物P_3的过程有正向催化的作用；基因G_2转录生成mRNA〖 Q〗_2，Q_2翻译生成蛋白质P_2，P_2对基因G_1的转录活动有促进的调控作用。
基因调控系统可以分为两类，(i)：简单的系统，其特征是可以进行一个完整的（计算机辅助）定性分析。(ii)：复杂系统，其特征是很难对其进行定性分析。这两个类之间的区别在于一个函数D，即 “调控行列式”，是由Jacobi矩阵的特征多项式推导得到的。特别地，无论基本控制函数多么复杂，所有的两基因交叉调控系统都属于第(i)类。
在快速结合平衡的假设下，我们运用更进一步的分析方法，求得了作为微分方程的根的稳定点，并根据调控行列式D的值与D_Hopf值的大小比较，对该类扩充Goodwin振子进行了稳定性和振荡分析。主要证明了该扩充Goodwin振子中的两种翻译产物P_1和P_2产生振荡时，酶促反应的产物P_3同样会产生振荡。
1 动力学方程
1．1 结合平衡
假设DNA携带两基因，G_1和G_2，G_1和G_2在其各自的启动子区具有促进蛋白和阻抑蛋白的结合位点。S为酶促反应的底物，固定S的浓度值为常数。假设蛋白质与基因的结合、底物与酶的结合都比转录、翻译和酶促反应发生得更快，因此结合平衡是有效的。
对于基因G_1和G_2之间的交叉调控作用，我们仅考虑：基因G_1的翻译产物P_1阻抑基因G_2的转录，基因G_2的翻译产物P_2促进基因G_1的转录。换句话说，基因G_1的转录活动可以用蛋白质P_2的平衡浓度的一个函数F_1来描述，基因G_2的转录活动同样被P_1的平衡浓度控制，表示为F_2。而P_1又作为酶，对底物S具有正向催化的作用，即同样地，底物S的反应程度可以用蛋白质P_1的平衡浓度的一个函数F_3来描述。