式中, 为设计变量,如结构尺寸等; 为目标函数,如结构重量、体积、功耗、产量、成本或其他性能等; 是不等式约束函数; 是等式约束函数,上角标L表示Lower Limit,即下限;上角标U表示Upper Limit,即上限。
在OptiStruct中,目标函数、约束函数均是从有限元分析中得到的结构响应。设计变量为矢量,它的选择主要取决于优化类型。具体来说,拓扑优化时,设计变量一般为单元密度;尺寸优化时,设计变量一般为结构单元属性;形貌优化和形状优化时,设计变量一般为形状扰动的线性组合因子。
(3)约束条件
在建立模型进行设计时,为了获得能达到各种要求的最佳方案,需设定一些必要的条件,以限制设计变量的取值范围。一个设计必须满足某些限制条件,这些对设计变量进行限制的条件,称为约束条件,简称约束。确定约束条件时,应在满足设计要求的条件下,尽量减少约束条件的数量。
本文将以Altair OptiStruct 结构优化求解器为基础,对其优化结果的属性及其特点进行全面的分析与研究,并对优化后的模型进行几何体重构,以便做进一步的优化。
3.2  OptiStuct迭代算法
HyperWorks是以有限元法为基础的,OptiStruct模块在求解问题时,则通常采用局部逼近的方法。
具体而言,局部逼近法的一般步骤为:
1)利用有限元法对相应物理问题进行分析;
2)收敛判断;
3)设计灵敏度分析;
4)获得灵敏度信息之后,建立近似模型,并求解近似优化问题;
5)返回第一步。
局部逼近法适用于相邻迭代步之间设计变量差值较小的情况,所得结果也为局部最小值[17]。在结构优化设计计算中,灵敏度分析是从设计变化到数学优化过程中最重要的一部分。利用灵敏度信息可建立近似模型,通过近似模型可求解设计变量。OptiStruct通过多种方法建立近似模型,包括最优化准则法、对偶法和可行方向法。
最优化准则法通常应用于拓扑优化问题中,目标表现为使应变能最小化,约束表现为质量或质量分数。可行方向法与对偶法的应用取决于约束条件及设计变量的数量,由OptiStruct自动选择。当设计变量的数目超过约束条件的数目,则对偶法更佳,可行方向法则多用于尺寸优化及形状优化中。
OptiStruct模块中常用两种收敛准则,包括软收敛和规则收敛。当相邻两次迭代结果满足收敛准则时,即满足规则收敛,此时相邻两次迭代目标函数值变化小于目标容差,并且约束条件违反率小于1%。
当相邻两次迭代的设计变量变化较小,甚至没有变化时,则达到软收敛,此时不必对最后一次迭代的目标函数值或约束函数进行估值。因此,相对于规则收敛,软收敛少进行一次迭代。
3.3  灵敏度分析
设计灵敏度即结构响应对设计变量的偏导数。对于有限元方程:
                   
式中,K表示刚度矩阵;U表示单元节点位移矢量;P表示单元节点载荷矢量。
    两边对设计变量求偏导数:
                   
通常,结构响应(如约束函数g)可以表示为位移矢量U 的函数;
                     
所以结构响应的灵敏度为:
                     
直接运用上述方法进行求解,称为直接法。直接法适用于设计约束较多,而设计变量较少的优化问题,如尺寸优化和形状优化的灵敏度求解。相反,对于设计约束较少,而设计变量很多的优化问题,如形貌优化和拓扑优化,可通过另外的方法,计算灵敏度时引入伴随变量E。伴随变量E满足:
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