HyperWorks发射系统底架结构优化及几何体重构(5)
式中， 为设计变量，如结构尺寸等； 为目标函数，如结构重量、体积、功耗、产量、成本或其他性能等； 是不等式约束函数； 是等式约束函数，上角标L表示Lower Limit，即下限；上角标U表示Upper Limit，即上限。
在OptiStruct中，目标函数、约束函数均是从有限元分析中得到的结构响应。设计变量为矢量，它的选择主要取决于优化类型。具体来说，拓扑优化时，设计变量一般为单元密度；尺寸优化时，设计变量一般为结构单元属性；形貌优化和形状优化时，设计变量一般为形状扰动的线性组合因子。
（3）约束条件
在建立模型进行设计时,为了获得能达到各种要求的最佳方案，需设定一些必要的条件，以限制设计变量的取值范围。一个设计必须满足某些限制条件，这些对设计变量进行限制的条件，称为约束条件，简称约束。确定约束条件时，应在满足设计要求的条件下，尽量减少约束条件的数量。
本文将以Altair OptiStruct 结构优化求解器为基础，对其优化结果的属性及其特点进行全面的分析与研究，并对优化后的模型进行几何体重构，以便做进一步的优化。
3.2 OptiStuct迭代算法
HyperWorks是以有限元法为基础的，OptiStruct模块在求解问题时，则通常采用局部逼近的方法。
具体而言，局部逼近法的一般步骤为：
1）利用有限元法对相应物理问题进行分析；
2）收敛判断；
3）设计灵敏度分析；
4）获得灵敏度信息之后，建立近似模型，并求解近似优化问题；
5）返回第一步。
局部逼近法适用于相邻迭代步之间设计变量差值较小的情况，所得结果也为局部最小值[17]。在结构优化设计计算中，灵敏度分析是从设计变化到数学优化过程中最重要的一部分。利用灵敏度信息可建立近似模型，通过近似模型可求解设计变量。OptiStruct通过多种方法建立近似模型，包括最优化准则法、对偶法和可行方向法。
最优化准则法通常应用于拓扑优化问题中，目标表现为使应变能最小化，约束表现为质量或质量分数。可行方向法与对偶法的应用取决于约束条件及设计变量的数量，由OptiStruct自动选择。当设计变量的数目超过约束条件的数目，则对偶法更佳，可行方向法则多用于尺寸优化及形状优化中。
OptiStruct模块中常用两种收敛准则，包括软收敛和规则收敛。当相邻两次迭代结果满足收敛准则时，即满足规则收敛，此时相邻两次迭代目标函数值变化小于目标容差，并且约束条件违反率小于1%。
当相邻两次迭代的设计变量变化较小，甚至没有变化时，则达到软收敛，此时不必对最后一次迭代的目标函数值或约束函数进行估值。因此，相对于规则收敛，软收敛少进行一次迭代。
3.3 灵敏度分析
设计灵敏度即结构响应对设计变量的偏导数。对于有限元方程：
式中，K表示刚度矩阵；U表示单元节点位移矢量；P表示单元节点载荷矢量。
两边对设计变量求偏导数：
通常，结构响应（如约束函数g）可以表示为位移矢量U 的函数；
所以结构响应的灵敏度为：
直接运用上述方法进行求解，称为直接法。直接法适用于设计约束较多，而设计变量较少的优化问题，如尺寸优化和形状优化的灵敏度求解。相反，对于设计约束较少，而设计变量很多的优化问题，如形貌优化和拓扑优化，可通过另外的方法，计算灵敏度时引入伴随变量E。伴随变量E满足：