2.3 有限元基本理论

2.3.1 有限元法的发展

目前，在数值计算方法中，有限元方法已经占有了极为重要的地位，在工程上得到了广泛的应用，理论和算法都渐趋成熟完善。有限元起源于固体力学，并逐步扩展到各种不同的领域，它自身不仅具有相当大的潜力，而且当结合其他理论和方法后还会有更加广阔的前景。文献综述

追溯有限元的发展历程，其实在20世纪40年代就出现了离散化的思想。1943年Rcourant实质上首次提出有限元的基本思想。在有限元这一方法提出后，顺利地进入了发展阶段。航空方面的需要曾很大程度上促进了有限元的发展，也出现了有限元法的原始代数表达形式，并开始进行单元划分、单元类型选择的研究，而且在解的收敛性方面取得了相当大的突破。1960年，美国的克劳夫教授在“平面应力分析的有限单元法”的论文中首先使用有限单元法这一名词，得到了广泛承认。此后有限元法进入了进一步发展和完善阶段，不光力学界的学者，甚至也吸引了许多的数学家加入了研究行列，这期间各种单元模式发展起来，并且其使用范围得到了很大的扩展。70年代，有限单元法已扩展到所有工程领域。这一阶段，国外发展建立了严格的数学和工程基础，应用领域进一步扩大，对收敛性进行了进一步研究，相应的商业软件层出不穷。在我国“有限元”在1965年第一次出现，数学家冯康发表了论文《基于变分原理的差分格式》，提出了分片插值思想，独立于西方提出了有限元法。

一般解决工程技术领域的实际问题时，建立基本方程和边界条件是比较容易的，但想求得解析解却相当困难，不仅要受到几何形状和材料特性的限制，同时外部载荷的不规则性也给求得解析解增加难度。因此，人们开始寻求解决问题的近似解法，结果发现发现有限元法能很好地适应各种复杂的几何形状、复杂的材料特性以及复杂的边界条件。有限元法基本思路是将连续的变形固体离散成有限个互不重叠的单元组成的结构，而且单元与单元之间仅在节点处用铰链连接，由新的单元集合体取代原来的连续变形体，然后进行变形分析。同时在每个单元内,选择一些合适的节点作为求解函数的插值点,将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式,然后借助于变分原理或加权余量法,将微分方程离散求解。当采用不同的权函数和插值函数形式时,便可以相应地形成不同的有限元方法。

目前各种有限元软件迅猛发展，ANSYS,NASTRAN,ABAQUS,ASKA等，功能日益完善，处理程序更加强大。今后有限元发展将从单纯的结构力学计算发展到求解许多物理场问题，由单一场计算向多物理耦合场问题的求解发展，从求解线性问题发展到求解非线性问题，与CAD/CAM等软件的无缝集成化，自动化的网格处理能力进一步增强，同时软件能为专业用户提供更好的开放性。