1。变限积分函数列一致收敛性

1。1 变限积分函数列一致收敛的定义

在这里我们只讨论变上限积分函数列的一致收敛性。

定义1。1。1 变上限积分函数列分为,及,这三种。对任意的,存在正整数,当时时,不等式对于任意的恒成立,则称在上一致收敛。

1。2 变限积分函数列一致收敛的一般判别法

通过变上限积分函数列一致收敛的定义我们根据三种不同类型的积分变上限函数列可以得到三个新的定理，即下面的定理1。2。1,1。2。2,1。2。3。

对于第一类变上限积分函数列，可得

定理1。2。1 设函数列在上一致收敛于极限函数,且在上可积,记

则在上一致收敛于。

证明 由于在上可积，顾有界。设，则

,  (1)由于在上一致收敛于,故对任意的,存在自然数,当时,对一切有

,从而由(1)式可知

,即在上一致收敛于,也可以记为文献综述

。由第二类变上限积分函数列,可得

定理1。2。2 设可积函数列,在上一致收敛于可积函数,而是有上界的函数,记

则在上一致收敛于。证明 设 则有

由于一致收敛于,故对任意的,存在自然数,当时,对一切有

。因此由(2)式得,

即在上一致收敛于,也可以记为。

由第三类变上限积分函数列，可得

    定理1。2。3 可积函数列,在上一致收敛于可积函数,函数列在上一致收敛于极限函数,且，是有界函数，记

则在上一致收敛于。证明  因为

由于在上一致收敛于,故对任意的,存在自然数,当时,对一切，则

假设,,则

又因为一致收敛于,故对任意的,存在自然数,当时,对一切有。所以有

因此在上一致收敛于。来,自.优;尔:论[文|网www.youerw.com +QQ752018766-

由于第三类积分变上限函数列比较复杂在后面我们就不多加讨论了。

2。变限积分函数列一致收敛的施笃兹判别法

2。1第一类变上限积分函数列的施笃兹判别法

    对于第一类变上限积分函数列,针对,这种情况。我们可以用数列一致收敛的施笃兹判别法来进行判断,结合定义1。1。1以及定理1。2。1我们可以得到一个新的定理。即