摘要凸函数在数学上是一类极其重要的函数，其研究历史可以追溯到上世纪初期。人们之所以热衷于研究凸函数，是因为他所具有的独特的良好性质。正是如此，凸函数能在很多场合得到应用。

  本文正是在前人所得成果的基础上，对零碎的基础部分知识进行认真的整理,然后从几个角度去说明凸函数的若干种定义，进而去说明凸函数的一些性质。本文分别通过解析性质和线性性质两个方面去阐述凸函数的性质，并对几个定理进行证明。最后通过几个例题，解释说明凸函数在微分学、不等式证明两个方面的应用，在例题的推导运算过程中，我们可以更加深刻的理解凸函数的一些性质,并加深对它们应用的理解。通过这些内容我们能够理解到凸函数的可用范围十分广大，所以我们还需要更多的研究来加深对凸函数的了解。86123

毕业论文关键词：凸函数；定义；性质

Abstract The convex functions is a very important kind of function in mathematics。The research of the convex functions can be traced back to the early years of the last century。Because of the unique and good properties ,people are glad to do research on that。Also because of what it has,the convex functions can be widely used in lots of fields。

What the writer has written is based on what people has known,then I collect odds and ends carefully。So I can show the definition to the readers in several different directions。Then I show its properties by those two directions:the property of linearity and the analytic property。Then I tell you how to prove those theorems。Last but not the least,based on all what I say in the preamble,I use some examples to show the applications of the convex functions in the differential and the proof of inequality。In this way we can know more about its properties and applications。By these study we know that the convex functions can be widely used in our work,so we have to do more research on it to know about it。

Keywords: convex functions; definition; property

目   录

第一章 绪 论-1

第二章 凸函数的定义3

第三章 凸函数的性质6

3。1 凸函数的线性性质-6

3。2 凸函数的解析性质-7

第四章 凸函数的应用-15

4。1 不等式的证明-15

4。2 微分学中的应用-19

结论21

致谢22

参考文献23

第一章  绪 论

1。1研究背景

凸函数是现代数学中函数里的重要一类，早在上世纪初期在Jensen的著作中就已经出现了凸函数的概念。在近百年来数学飞速发展的情况下，凸函数在纯粹数学与应用数学等众多领域中都得到了大量广泛的运用，并且渐渐成长为数学规划等等多个学科的理论基石、强大工具。在凸函数得到充分的发展的情况下，为了在理论层次得到突破并丰富它们在实践中的用途，数学研究者们又提出了广义凸函数等概念，并在数学分析的多个分支上得到了应用，尤其是不等式的证明推导、函数图像制作等方面。正是因为凸函数具有的良好而独特的性质以及在现今研究中的广泛应用，所以我们应该对凸函数的理论进行进一步的研究与探讨。论文网

1。2研究意义

凸函数之所以在数学上作为一个分支去进行研究并具有十分重要地位，是因为它自身所具有的特殊性质。在近百年的研究以来，凸函数的研究过程大抵经历了凸函数定义的研究、凸函数凹凸性的研究以及凹凸性的应用方面的研究这三个方面。其中对凹凸性的研究在数学分析的若干个分支都有用处。尤其是在函数图形的制绘、不等式的推导证明等方面，凸函数的研究起到了非常重要的作用。因为凸函数理论的广泛性及其在数学的多个领域得到的广泛应用，所以对凸函数的理论进行进一步的研究和推广就变得十分重要。而且凸函数作为数学分析中一类独特的函数，在课本中缺乏对其性质应用方面的介绍。所以，对凸函数性质的整理工作并对其应用做一些思考，是十分重要的。