本文主要研究了正交变换的几个应用。包括利用正交变换转换方程式与矩阵，化为标准型，更通过转化方程式来简化多远函数积分的计算。同时，还探讨了正交变换的几何意义，并利用它一些几何性质转换坐标系，快速判断二维方程式的形状。还利用正交变换简化多元函数积分的计算。找到了线性代数与欧氏空间，微积分的切入点，使积分解题变得更加简单。

第二章正交变换的定义及判别

2。1 定义

在解析几何中，我们已经有了正交变换的概念。正交变换就是保持点与点之间距离不变的变换。

而在一般的欧氏空间中，如果欧氏空间有线性变换，且保持向量的内积不变，即对任意的，都有

。

则称线性变换为正交变换。

2。2 判别

  若是欧氏空间上的一个变换，且对任意，均有，则是否是正交变换？

  由正交变换的定义可知，要是正交变换，则必须满足（1)是线性变换;(2)保持任意向量的内积不变。并且(1)和(2)是互相独立的。

引理1：如果对任意，均有，其中为一实数,变换是的线性变换，当时。是的正交变换。证明：

即得，则是的正交变换。

引理2：变换是的正交变换的充要条件是：对于任意，有。

定理1：变换是的正交变换的充要条件是：对于任意，有且。

证明：必要性：显然。即证。

充分性：对任意，存在，使得。于是由条件可知。

所以，：是的正交变换（引理2）。文献综述

定理2：变换是的正交变换的充要条件是：对于任意，任意，均有。

证明：必要性：因为是正交变换，所以对任意，，均有。

充分性：取，则有。所以，是的正交变换（引理2）。

定理3：变换是的正交变换的充要条件是：对于任意，均有

并且。证明：必要性：显然。充分性：由条件可得。

同理得。

又由条件得

两边展开后得。所以，是的正交变换（引理1）。

定理4：变换是的正交变换的充要条件是：对任意，都有，并保持向量的夹角不变。即对于任意，均有。

证明：必要性：显然。

充分性：对任意，假设，则有

且所以得。

当或，则有或。即或。所以，是的正交变换（引理1）。

定理5：变换是的正交变换的充要条件是：对于任意，有

且。

证明：必要性：显然。

充分性：由条件，对任意，有

所以，是的正交变换（引理2）。

定理6：变换是的正交变换的充要条件是：对于任意，有

且。证明：必要性：显然。来自~优尔、论文|网www.youerw.com +QQ752018766-

充分性：由条件，对任意，有且

即，所以，是的正交变换（引理3）。

定理7：若（的单位变换），则变换是的正交变换的充要条件是：对于任意，有。

证明：必要性：对于任意，有。

充分性：由条件得，。所以，可知：是的正交变换（引理1）。

定理8：若是欧氏空间的可逆变换，则变换是的正交变换的充要条件是：对于任意，有