1。2 矩阵三角分解的研究现状与发展

第二章矩阵的三角分解

2。1 矩阵三角分解

矩阵三角分解的定义[11]：存在方阵，该方阵可以分解成两个矩阵、的乘积，其中是上三角矩阵，是下三角矩阵，那么称该方阵可作三角分解或分解。此时，该三角分解又分两种情况。一、如果是单位下三角矩阵，为上三角矩阵，那么该三角分解是杜利特分解；二、如果是下三角矩阵，而是单位上三角矩阵，那么该三角分解是克劳特分解。

2。2 矩阵三角分解的几个基本定理

定理 2。1[11] 阶非奇异矩阵可作三角分解的充要条件是，这里为的阶顺序主子式。

证明[1]  必要性。设矩阵满足三角分解，是非奇异的，将其写成分块形式：文献综述

这里，和分别为，和的阶顺序主子式。首先由得，，从而得，；因此。

充分性。对阶数做数学归纳。

当时，，结论成立。

假设当时结论成立，即，其中和分别是下三角矩阵和上三角矩阵。若，则由可得和可逆。

则当时，

由归纳法原理可作三角分解。

上面的定理和证明给出了非奇异矩阵可作三角分解的充要条件，但是由于

不满足定理 2。1的条件，所以它不能作为三角分解。但是，

这个例子表明:对于奇异矩阵，如果它能进行三角分解不一定要满足定理 2。1的条件。

那么到底怎么进行分解呢？下面给出无论是杜利特分解还是克劳特分解都通用的迭代算法。

假设阶方阵的各阶顺序主子式不等于零，即来.自^优+尔-论,文:网www.youerw.com +QQ752018766-

则的分解存在且唯一。

由矩阵的乘法原理，可推导出分解的迭代算法如下：

矩阵的分解是一个循环迭代的过程，矩阵是从第一行迭代到第行，矩阵是从第一列迭代到第列，且矩阵先于矩阵一个节拍。