摘要矩阵的正定性在矩阵论中占有非常重要的地位，也是矩阵研究的主要课题，正定矩阵的特殊性质在二次型和欧式空间等方面有着较为广泛的应用，对正定矩阵的性质和判定方法的研究无论在数学领域还是在其他领域都有着重要意义。86706

本文主要研究正定矩阵的基本性质及判定方法，包括实矩阵（实对称矩阵和一般实矩阵）与复矩阵。 由于这两类矩阵具有不同的性质特点，首先对于应用较为广泛的实矩阵的正定性介绍了几种判别方法，如根据定义及性质判定、主子式判定法、标准型判定法、二次型判定法以及降阶判别法等；然后根据复矩阵的具体类型给出了判别其正定性的几个较为典型的方法。 最后介绍了矩阵正定性的几个应用，如不等式的证明、求多元函数的极值及在物理中的应用。

毕业论文关键词：正定性；实正定矩阵；复正定矩阵；判定方法

Abstract The positive definiteness of matrix occupies very important position in matrix theory, and is the main topic of the research of matrix。 The special properties of positive definite matrix has a more widely application in the quadratic and the European space。 The research on the properties of positive definite matrix and judging method have important significance no matter in the field of mathematics or in other areas。

This paper mainly studies the basic properties of positive definite matrix and its determination method, including real matrix (real symmetric matrix and general real matrix) and complex matrix。 Because of these two kinds of matrix with different characteristics, first of all for the widely used real matrix several discriminant methods of positive definiteness are introduced ,such as decide according to the definition and properties and determinant decision method, standard decision method method of determining the quadratic and reduced order discriminant method etc。; then according to specific types of complex matrix we give several typical discriminant methods。 Finally, this paper introduces several applications of positive definiteness, such as the proof of inequality, seeking the extreme of multivariate function and application in physics。

Keywords: real positive definite matrix; complex positive definite matrix; positive definiteness; determination method

目  录

第一章 绪论 1

1。1 研究背景及意义 1

1。2 正定矩阵的研究现状 1

    1。2。1 正定矩阵的研究历程 1

    1。2。2 正定矩阵研究的局限性 2

1。3 本文主要内容 2

第二章 实正定矩阵的性质及判定方法 3

2。1 实正定矩阵的定义与性质 3

    2。1。1 实对称正定矩阵的性质 4

    2。1。2 一般（未必对称）实正定矩阵的性质 5

2。2 实对称矩阵正定性的判定方法 5

    2。2。1 根据定义及性质判定 5

    2。2。2 标准型判定法 7

    2。2。3 主子式判定法 8

    2。2。4 二次型判定法 8

    2。2。5 降阶判定法 9

2。3 一般（未必对称）实矩阵正定性的判定方法