4。1。1性质的证明： 19

4。1。2应用1，求焦点三角形的面积 20

4。1。3应用2 20

4。2小结 21

五、椭圆的光学性质 21

5。1性质 21From~优E尔L论E文W网wWw.YoUeRw.com 加QQ7520.18766

5。1。1证明 22

5。1。2应用：求取值范围 23

六、关于双曲线的一个定值性质（与渐近线相关） 24

6．1性质 24

6。1。1证明 24

6。1。2应用1，求面积 25

6。1。3应用2，求双曲线曲线的方程。 26

6。2小结 27

结语 27

参考文献 28

致谢 28

引言

圆锥曲线在高中数学中占有重要的一席之地，为了更好的掌握圆锥曲线的性质与提高圆锥曲线的解题能力，本文从六个性质（椭圆与双曲线的关于弦与弦中点的定值性质，椭圆与双曲线的关于切线的一个性质，椭圆的等角对等积性质，椭圆的焦点三角形性质，椭圆的光学性质，双曲线的一个关于渐近线的性质）展开证明，结合例子进行分析应用，解释性质对于解决一些圆锥曲线（本文针对圆锥与双曲线）的一些特定问题提供便捷与思考。论文网

一、关于圆锥曲线的一个定值性质（弦与弦中点问题）

1。1关于双曲线的一个定值性质

     MN是双曲线 中不垂直于对称轴的一条弦， O是双曲线的中心，其中P是MN的中点，则 

1。1。1性质证明

设点M,N,P,的坐标分别为 ， ， ，已知 M,N两点在双曲线上 

  ，从而得证。

1。1。2应用1、求过定点的弦中点的轨迹方程

 例：双曲线的方程为 ，过点（3，1）的直线与双曲线交于A,B两点，求弦AB中点P的轨迹方程。

解：设P ,直线方程为 ,

自然而然的由双曲线的定值性质可以知道   

进而将  直线的方程 

从而得到 

分析：如果运用一般解题的思路来看，首先设出点A、B、P三点的坐标，再利用A、B为双曲线上的点，将点A、B代入双曲线方程经过一系列变化得到 ,然后利用（3，1）在 上，且 ，从而得出P的轨迹方程，这样的步骤相比于利用定值性质来解决显得十分繁杂，且再定值性质的面前看来有些画蛇添足，明明有捷径可以走，却非要绕个弯。而且在计算的过程中，换算也很容易发生错误。

1。1。3应用2、探究存在性问题

问是否存在这样的直线 经过点A（2，2），且与双曲线 交于点 ，使得A正好是 的中点？

解：（  与不可能与 轴垂直时，因为在那种情况下， 与双曲线只有一个交点）

因此设 的方程为 ，文献综述

将 的方程代入双曲线方程得 ，

由 有两不同的根利用 ，

得   ，又   ，

∵ ，故这样的直线 不存在。

分析：一般来说，传统的证明方法与上述作法前半部分是一样的，通过直线代入双曲线得到关于x的一元二次方程，通过判别式法得到k的取值。再然后 都在双曲线上，得出关于 的横纵坐标之间的关系式。又 的横坐标与纵坐标之和都为4最终求出k=2。显然，在利用定值性质的一步到位之下可以省略很多步骤，简洁明了，提高解题效率。