2。4  利用泰勒公式证明不等式 9

2。4。1  关于导数的不等式 9

2。4。2  关于代数的不等式 9

2。4。3  关于积分的不等式 11

2。5  利用泰勒公式判断敛散性 12

2。5。1  数项级数的敛散性 12

2。5。2  函数项级数的敛散性 13

2。5。3  反常积分的敛散性 14

2。6 利用泰勒公式计算行列式 14

3  结束语 16

参考文献 17

致谢 17

0 引言

在初等函数中，多项式函数是最简单的初等函数。 因为多项式函数只有加、减、乘这三种运算。 因此，一些复杂的函数，若可用多项式函数近似代替，同时误差又满足一定要求，那么，对函数性质的研究来说，有着十分重要的意义。

泰勒公式是数学中最基础、最重要的内容之一。 它能将一些比较复杂的函数用相对简单的多项式函数近似地表示。 泰勒公式主要用于以下几个方面：函数值估测及近似计算、函数的多项式近似表示、求函数的极限、高阶导数计算、不等式的证明、以及曲线的凹凸性与拐点判断。

由于泰勒公式在数学中的基础性和重要性，所以，对于泰勒公式的研究也一直没有间断。国内外学者在不等式证明、计算极限、近似计算以及高阶导数等方面，都充分利用了泰勒公式的定理和性质，例如，可见[1-4]。

1 泰勒公式

1。1 泰勒公式的演变

18世纪初，随着人们不断进行航海外出，天文学、地理学等领域的兴起，三角函数、对数函数等以及航海表的插值，也随之不断改变，人们要求其有较高的准确度。 而且当时，插值的常用方法是线性插值法，它假设在两个已知值之间的区间中，函数是自变量的线性函数。 但是，现实问题中的函数往往是非线性的，因此，这就需要另一种适用于非线性且有较高的精确度的插值方法。

英国数学家Gregory和英国数学家、物理学家、天文学家牛顿曾先后独立地得到如今以他们的名字命名的Gregory—Newton内插值公式：

f(a+h)=f(a)+h/c ∆f(a)+(h/c (h/c-1))/(1∙2) ∆^2 f(a)+⋯

莫里斯·克莱因在《古今数学思想》一书中概述了泰勒是如何得到泰勒公式的[5]:

“Gregory—Newton内插值公式由Brook Taylor发展成一个把函数展开成无穷级数的最有力的方法。 二项式定理，有理函数的长除法和待定系数法，都是有局限性的方法。  Taylor在他研究有限差计算的第一本出版物《增量法及其逆》（Methodus Incrementorum Directa et Invresa，1715）中，推导出他在1712年曾经叙述过的定理，这定理至今仍用他的名字命名。”事实上，Taylor定理在1670年就已经为James Gregory所知，后来Leibniz也独立地发现这个结论，只是这两个人都没有发表过它。 

其实，泰勒公式相当于是将Gregory—Newton内插值公式中的c变为∆x。 于是，就得到了如下的泰勒公式：

f(a+h)=f(a)+f^' (a)h+f^'' (a)  h^2/2!+f^''' (a)  h^3/3!+⋯

从现在的观点来看，泰勒的方法是不够严密的，他并没有考虑到收敛的问题。From优Y尔E论W文W网wWw.YouERw.com 加QQ75201,8766