法国数学家柯西在一百多年后给出了泰勒中值定理的严格证明，并将证明载入他的《关于级数的收敛》一书中。

1742年，英国数学家麦克劳林在他的《流数论》中给出了a=0的情况（就是现在所谓的麦克劳林公式），并且说明这是泰勒公式的一种特殊情况。

1797年，拉格朗日用代数的方法证明了泰勒展开式。 同时他还给出了以他名字命名的“带有拉格朗日余项”的泰勒展开式，如下所示：

f(x+h)=f(x)+f^' (x)h+f^'' (x)  h^2/2!+f^''' (x)  h^3/3!+⋯+f^((n) ) (x)  h^n/n!+R_n (x)

其中：R_n (x)=f^((n+1) ) (x+θh)  h^(n+1)/(n+1)!，0<θ<1称为拉格朗日余项。

当n=0时，上述泰勒公式即为熟知的拉格朗日微分中值定理。

1。2  泰勒公式的几种形式

1。2。1  带拉格朗日余项的泰勒公式[6]

设f(x)在[a，b]上存在直至n阶的连续导函数，在(a，b)内存在(n+1)阶导函数，则对任意给定的x，x_0∈[a，b]，至少存在一点ξ∈(a，b)，使得

f(x)=f(x_0 )+f^' (x_0 )(x-x_0 )+(f^'' (x_0 ))/2! (x-x_0 )^2+⋯+(f^((n) ) (x_0 ))/n! (x-x_0 )^n+r_n (x)，   （1）

其中：r_n (x)=(f^((n+1) ) (ξ))/(n+1)! (x-x_0 )^(n+1)，ξ在x和x_0之间，称为拉格朗日余项。

式（1）称为f(x)在x=x_0处的泰勒公式。 它的前n+1项组成的多项式p_n (x)，称为 f(x)的n次泰勒多项式。

特别地，当n=0 时，式（1）变成

f(x)=f(x_0 )+f^' (ξ)(x-x_0 )，

其中ξ在x和x_0之间。 这恰为拉格朗日微分中值定理的结果。 

所以，泰勒公式可以认为是拉格朗日微分中值定理的推广。

当x_0=0时，式（1）变成

f(x)=f(0)+f^' (0)x+(f^'' (0))/2! x^2+⋯+(f^((n) ) (0))/n! x^n+(f^((n+1) ) (ξ))/(n+1)! x^(n+1)，         （2）

其中ξ在x和x_0之间。 式（2）被称为麦克劳林公式。 显然，它是带有拉格朗日余项的。

除了上述的拉格朗日的形式之外，泰勒公式的余项还有其它多种的表现形式。

1。2。2  带佩亚诺余项的泰勒公式[7]

设f(x)在点x_0 存在直至n阶导数，则有

f(x)=f(x_0 )+f^' (x_0 )(x-x_0 )+(f^'' (x_0 ))/2! (x-x_0 )^2+⋯+(f^((n) ) (x_0 ))/n! (x-x_0 )^n+r_n (x)，（3）

余项r_n (x)满足

r_n (x)=ο((x-x_0 )^n )。

这里的余项形式r_n (x)=ο((x-x_0 )^n )称为佩亚诺余项。 

当x_0=0时，式（3）变成

f(x)=f(0)+f^' (0)x+(f^'' (0))/2! x^2+⋯+(f^((n) ) (0))/n! x^n+ο(x^n )，         （4）

式（4）也称为麦克劳林公式。 显然，它是带有佩亚诺余项的。

显然，当x→x_0时，满足拉格朗日余项蕴涵着佩亚诺余项，即前者的结论强于后者。 但是，采用佩亚诺余项时，我们对函数f(x)的要求，往往比拉格朗日余项时弱一些。

1。2。3  带有积分型余项的泰勒公式[8] 

若函数f(x)在点x_0存在直至n阶导数，则有论文网

f(x)=f(x_0 )+f^' (x_0 )(x-x_0 )+(f^'' (x_0 ))/2! (x-x_0 )^2+(f^''' (x_0 ))/3! (x-x_0 )^3+⋯+(f^((n) ) (x_0 ))/n! (x-x_0 )^n+r_n (x)，

余项r_n (x)满足

r_n (x)=1/n! ∫_(x_0)^x▒〖f^((n+1) ) (ξ) (x-ξ)^n dt〗，其中ξ在x和x_0之间

余项r_n (x)称为泰勒公式的积分型余项。

1。2。4  带有柯西型余项的泰勒公式[9]

若函数f(x)在点x_0的某邻域内存在直至n+1阶导数，则对该邻域中的任一点，成立

f(x)=f(x_0 )+f^' (x_0 )(x-x_0 )+(f^'' (x_0 ))/2! (x-x_0 )^2+(f^''' (x_0 ))/3! (x-x_0 )^3+⋯+(f^((n) ) (x_0 ))/n! (x-x_0 )^n+r_n (x)，