极值长度在复变函数中的应用
关键词 极值长度 共形映射 模 调和测度
毕业设计说明书（毕业论文）外文摘要
Title Applying the extremal length to complex functions
Abstract
This paper wants to explain that extremal length is an important way to describe some properties of complex function , such as conformal mapping and the module of topological quadrilateral .By using conformal mapping , we can have extremal length ,making the module of the area in images which can helping us study the monotonicity of the module of the area. As to harmonic measure ,providing that it is a conformal invariant ,we can also study it by using extremal length ,thus ending in the general theorem of Phragmen-lindelof.As well as the study of asymptotic value of entire functions ,by using the extremal length ,we have Denjoy-Ahlfors theorem .Finally, we will study the quasi-conformal mapping and learn its definition,combining it with the extremal length we study,solving some problems of the extreme value of the quasi-comformal mapping .
Keywords extremal length , comformal mapping ,module, harmonic measure
目录
引言 5
第一章 曲线族极值长度的定义与性质6
第二章 曲线族极值长度与几类特殊区域曲线族模的关系9
第三章 调和测度与曲线族极值长度的关系17
第四章 极值长度在整函数渐近值问题中的应用28
第五章 拟共形映射的定义、应用曲线族极值长度解决一类拟共形极值问题30
引言
复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。
复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。
复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场 、电路理论等方面都得到了广泛的应用。
从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。
本篇论文想要说明的极值长度是刻画复变函数中一些函数性质的重要手段，比如拓扑四边形模与共形映射。通过共形映射，引入极值长度，将区域的模形象化，并研究模的单调性等问题。另外调和测度这个知识点，通过调和测度是共性不变量，引入极值长度来研究，可以得到广义Phragmen-lindelof定理。还有在整函数渐近值问题中，通过引入极值长度，可以得到Denjoy-Ahlfors定理。最后我们还需要研究拟共性映射，了解它的定义,将它与最初研究的极值长度联系一起，解决一些拟共形极值问题。
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