研究目的和内容

研究目的

数学是锻炼思维的体操，是一切科学的基础。数学的核心是解题，数学竞赛就成了解决数学问题的比赛。然而古老悠久的数论在数学发展史中占据着不容忽视的一页，促进数学新分支的发展，同时它也是一门相当重要的基础课，学好数论能够在解题过程中用初等、朴素的方法解决复杂的数学问题。况且数论问题在当代高校自主招生及数学竞赛中有着不可小觑的地位，学会用数论的观点来解题刻不容缓。

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研究内容

本文将对近几年各类中学生数学竞赛以及高校自主招生中有关初等数论的试题包括初等数论分支的经典例题进行研究性学习，就整除理论、不定方程以及同余理论、同余方程这四部分内容给出一个详尽的逻辑联系。笔者首先对它们的基本概念和性质做一个简洁的陈述，而后分析它们出现的大致形式，运用初等数论知识得到的解题方法，并且不局限于一种方法，给出一题多解，同时结合中学生所具备的知识储备和思维水平，就具体实例重点给出在中学数学竞赛中最合适的解题方案。并借此分析理论，可作为竞赛辅导老师在数论方面的辅导依据。因此，本文的研究也具有现实意义。

整除理论论文网

整除理论是初等数论的基础。本节介绍整除的基本定义定理和性质，包括带余数除法、辗转相除法、最大公约数、最小公倍数、算数基本定理以及它们在数论问题中的应用。

整除理论

定义2。1。1（整除）：设a，b∈Z，b≠0，若|b|除a的余数是0，则称b整除a（记作b|a），称b是a的约数（因数，或因子），a是b的倍数；否则，称a不被b整除（记作b∤a）。

定理2。1。1（带余数除法）：也被称为欧几里德基本定理，设a，b∈Z，b>0，则存在唯一的一对整数q，r，使得

a=qb+r，0≤r<b。

注：在定理2。1。1中，称q是b除a的商，r是b除a的余数

定义2。1。2（辗转相除法）

设a和b是两个整数（b≠0），由带余数除法知，如果

a=bq_1+r_1，0<r_1<|b|，

则（a，b）=（b，r_1）。若又有

b=r_1 q_2+r_2，0<r_2<r_1，

则（b，r_1）=（r_1，r_2），等等。如果不断地把带余数除法做下去，我们得到下面的一组除法：

 a=qb+r，       0≤r<|b|，

b=r_1 q_2+r_2，      0<r_2<r_1，

r_1=r_2 q_3+r_3，      0<r_3<r_2，

                             ……              ……

r_(k-1)=r_k q_(k+1)+r_(k+1)，0<r_(k+1)<r_k，

   ……               ……

 r_(n-2)=r_(n-1) q_n+r_n，0<r_n<r_(n-1)，

r_(n-1)=r_n q_(n+1)

根据上面的分析我们知道

           （a，b）=（b，r_1）=（r_1，r_2）=⋯=（r_(n-)，r_n）=r_n

上面的这组算式称为辗转相除法，或辗转相除算法。文献综述

定理2。1。2（最大公约数的性质）：设a_1，a_2，⋯，a_k∈Z，记

A={y；y=∑_(i=1)^k▒〖a_i x_i，x_i∈Z，1≤〗 i≤k}

如果y_0是集合A中最小的正数，则y_0=（a_1，a_2，⋯，a_k）。

定义2。1。3（最小公倍数）：整数a_1，a_2，⋯，a_k的公共倍数称为a_1，a_2，⋯，a_k的公倍数。 a_1，a_2，⋯，a_k的正公倍数中的最小的一个称为a_1，a_2，⋯，a_k的最小公倍数，记为[a_1，a_2，⋯，a_k ]。