2  数形结合思想

2。1  数形结合思想含义论文网

    数形结合是指通过把抽象的数学语言，数量关系与直观的几何图形结合起来，将问题简单化熟悉化的数学思想。“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞。数缺形时少直观，形少数时难入微。”华罗庚先生的这句话直接的体现出了利用数形结合思想解题的优势。利用数形结合思想解题，不仅能揭示题目的数学原理结构，还简化了解题过程，避免了繁杂的数学计算和推理过程。

“数”产生于各种“形”的计算，“形”又使“数”得以记录，使用，计算 ，因此在解题应用中数形结合可以分为“以形助数”和“以数辅形”两种情况。前者是利用形的直观性来阐明数之间的关系，例如方程的曲线，不等式所表示的平面区域，向量的几何意义都可以通过“以形助数”的途径实现；后者是根据数的精确性和严谨性来阐明形的非直观特点。想要掌握好数形结合思想，并能将其应用到解题中的关键是把握好数与形之间的转化。

    纵观各地的中高考数学卷，很多数学题都可以利用数形结合思想去解决。在选择和填空题中，利用数形结合思想解题将在很大程度上缩短答题时间，为接下来的解题获得时间优势。跟基础阶段的数学教育相比，高等数学更加抽象化，将数形结合思想应用到高等数学的解题中，能使学生更加理解题意，从而使解题更加有效率。因此在平时的练习中要重视数形结合思想的理解与应用。

2。2  数形结合思想的具体应用

2。2。1  数形结合思想在不等式中的应用

在中学解题中解不等式往往是比较复杂的题，我们经常会做到含有绝对值的或式子比较复杂不易计算的不等式。直接计算不仅运算量大，而且容易出错，但是利用数形结合思想解题就可以很好的避开这些繁杂的计算。

    例1  使不等式 成立的取值范围是_________。

    分析 由于 计算起来不方便，因此我们将这两个式子转化成函数，利用函数图像来解决这个问题。                               

    解 在坐标轴中分别作出函数                  1   

及函数 的图像，根据图像所反应的                 -1 0           

数量关系，当函数 的图像在

函数 的图像的下方时， 成立，解得 的取值范围为 ,

2。2。2  数形结合思想在函数中的应用

函数具有图形特点，给出函数我们可以采用不同方法作出函数图像。函数图像又包含着丰富的信息，只要有精确的函数图像我们就可以从图像中得到具体的函数及其特征。因此大部分函数题目都可以用数形结合思想解决，可以说数形结合思想在函数中得到了充分的体现。

    例2  二次函数 （ ）的图像如图所示，根据图像解答下列问题： 

（1）写出方程 的两个根；                   

（2）写出不等式 的解集；                   2

（3）写出 随 的增大而减小的自变量   

     的取值范围；

（4）若方程 有两个不相等

     的实数根，求 的取值范围。

    分析 例2所给函数含有参数，不能确定函数，无法直接计算，结合所给图像不仅能确定具体函数，更能直观的发现此函数的特征，直接解出问题。