1。2迭代法的收敛性

1。2。1原理

   设有线性方程组   ，其中 为非奇异矩阵。下面研究如何          建立解 的迭代法。

    将 分裂为   （3）论文网

其中， 为可选择的非奇异矩阵，且使 容易求解，一般选择为 的某种近似，称 为分裂矩阵。

于是，求解 转化为求解 ，即求解

            求解 。

也是求解线性方程组                     （4）

从而构造一阶定常迭代法： （5）                             

其中 ，称 为迭代法的迭代矩阵，选取 阵，就得到解 的各种迭代法。

1。2。2 收敛性的条件

   定理1 [1]给定线性方程组（4）及一阶定常迭代法（5）式，对任意选取初始向量 ，迭代法（5）式收敛的充要条件是矩阵 的谱半径 。

证明  充分性 设 ，易知 （其中 ）有唯一解，记为 ，则 

误差向量由设  ，应用定理1。1[1] 若设 ，则下面3个命题等价：

（1） ；

（2） ；

（3）至少存在一种从属的矩阵范数 ，使 。

由此定理1。1[1]可知，有  ，于是对任意 有 ，即 

      必要性 设对任意 有

                 ，

其中 ，显然，极限 是线性方程组（4）的解，且对任意 有

定理1。2[1]  的充分必要条件是 其中两个极限右端分别指零矩阵与零向量。由此定理可知 

再由定理1。1[1]，即得 。文献综述

    定理1[1]是一阶定常迭代法的基本定理。

下面通过一个例子来说明线性方程组迭代法的收敛性

已知一个线性方程组        （1。1）           

解 它的迭代公式为   （1。2）

简写为可得解得

即 ，所以用迭代法（1。2）式解线性方程组（1。1）是收敛的。

举例 考察用迭代法解线性方程组