性质3[1]   

证明  注意到 ，且 ，因此根据可逆矩阵的定义即可得证。

性质4[1]  设 是数域 上的非零常数， 是数域 上的可逆矩阵，则 可逆，且 。

证明  由于 ， ，故根据可逆矩阵的定义即可得证。

3  矩阵可逆的若干判别方法

3。1  定义判别法论文网

当我们所遇到的矩阵是抽象矩阵时，我们经常会考虑采用定义判别法来判别矩阵的可逆性。 这里，我们可以直接利用定义1中的注2去判定。

例1  设 级方阵 满足条件 ，判断矩阵 是否可逆并说明理由。

解  由于 ，故 ，从而根据定义判别法可知 是可逆矩阵。

3。2  行列式判别法

定理1[1]  设 是数域 上的 级方阵，则 可逆的充分必要条件是矩阵 的行列式 。

证明  必要性，由 可逆知存在方阵 使得 ，从而 ，因此 。 必要性得证。

充分性，设矩阵 的行列式  ，取方阵 ，其中 表示矩阵 的伴随矩阵，则 ，从而根据定义判别法可得 可逆。 充分性得证。

综上所述， 可逆的充要条件是矩阵 的行列式 。

当我们所遇到的矩阵是不是抽象矩阵而是具体的矩阵时，我们通常会考虑采用行列式判别法。

例2  设 ，判断矩阵 是否可逆，并说明理由。

解   ，因此根据行列式判别法可知 可逆。

显然本题采用定义判别法会很麻烦，注意到该矩阵是3级方阵，很快能求出行列式，因此本题我们考虑采用行列式判别法。

3。3  秩判别法

定理2[2]  设 是数域 上的 级方阵，则 可逆的充要条件是 的秩 。

证明  充分性，由 可知 至少有一个 级子式不为零，而 只有一个 级子式 ，因此 ，从而根据行列式判别法可知 可逆。 充分性得证。

必要性，如果 可逆，那么根据行列式判别法，有 ，即 有一个 级子式不为零，从而 ，又显然 ，因此 。 必要性得证。

综上所述， 可逆的充要条件是 的秩 。

当矩阵的行向量组或者列向量组中的向量的线性关系比较明显时，我们通常考虑采用秩判别法。

例3  设 ，判断矩阵 是否可逆，并说明理由。

解  设 ，很容易注意到 ，从而矩阵 的列向量组线性相关，则 列秩 ，从而根据秩判别法可知矩阵 不可逆。

3。4  初等变换判别法文献综述

定理3[2]  设 是数域 上的 级方阵，则 可逆的充要条件是 经过若干次初等行变换可变为单位矩阵 。

证明  充分性，由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，故 ，从而由秩判别法可知 可逆。 充分性得证。

必要性，由于 可逆，故 也可逆，从而 可以表示成一些初等矩阵的乘积[2]

根据可逆矩阵的定义， ，则根据矩阵左乘一个初等矩阵相当于进行一次初等行变换可得 经过若干次初等行变换可变为单位矩阵 。

综上所述， 可逆的充要条件是 经过若干次初等行变换可变为单位矩阵 。

很多时候我们不仅仅要判别矩阵是否可逆，矩阵可逆时还想找出其逆矩阵，此时我们经常会采用初等变换判别法，此方法可以在判别矩阵是否可逆的同时将其逆矩阵求出来（在矩阵可逆的情况下）。