摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要的公式，它是利用多项式函数去逼近光滑函数。 本文总结了其在近似计算、求极限、不等式证明等方面的应用。

毕业论文关键词：泰勒公式；极限；敛散性92900

Abstract: Taylor formula is an important formula in mathematical analysis。 In fact, it approximates the smooth function by the polynomial function。 In this paper, we summarize the applications of the approximate calculation,  limit and the proof of inequality, etc。。

Key words: Taylor formula; limit; convergence and pergence

目录

1  引言 4

2  预备知识 4

3  泰勒公式的应用 4

3。1  泰勒公式在近似计算上的应用 5

3。2  泰勒公式在求极限上的应用  5

3。3  泰勒公式在不等式证明上的应用 6

3。4  泰勒公式在证明中值公式上的应用 7

3。5  泰勒公式在判断级数敛散性上的应用 7

结论 8

参考文献 9

致谢 10

1  引言

泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，用一句话简单概括来说就是用多项式函数去逼近光滑函数，这种性质使得它在很多方面有着重要的应用，作者通过阅读大量的参考文献，从中收集了大量的习题，并对这些应用方法做了系统的归纳与总结。本文主要介绍它的应用，所以，会以大量例题来进行讲解说明。

2  预备知识论文网

   泰勒公式是将一个在 处具有 阶导数的函数 利用关于 的 次多项式来逼近函数的方法。

若函数 在包含的某个闭区间 上具有 阶导数，且在开区间 上具有 阶导数，则对闭区间 上任意一点 ，成立下式：

其中， 表示 的 阶导数，等号后的多项式称为函数 在 处的泰勒展开式，剩余的 是泰勒公式的余项，是 的高阶无穷小。

    以下是带有不同余项的泰勒公式

    1、佩亚诺（Peano）余项：

这里只需要 阶导数存在。    2、拉格朗日（Lagrange）余项： 

其中 。    3、柯西（Cauchy）余项： 

其中 。    4、积分余项： 

3  泰勒公式的应用

3。1  在近似计算上的应用

我们平时会算一些函数的近似值，怎样化繁为简呢，这就需要用到我们的泰勒公式了，它在其中有着重要的作用。

    例1  计算近似值 。

 解  对指数函数 运用麦克劳林展开式并舍弃余项得， 。

当 时， 。

取 ，即可算出近似值 。

例2  求 精确到第三位小数。

解  由 在 处的泰勒公式

3。2  在求极限上的应用

    有些时候我们会遇到一些极限问题，没法求它的极限，这时我们可以考虑运用泰勒公式来求。

    例3  求极限 

    解  已知 的泰勒展开式如下，

将 用 代换得，

又因为 在 趋于 时近似等于 ，所以

故原式极限为 。文献综述