摘要：矩阵理论是现代数学的重要基础，它广泛的应用于自然和社会科学的各个领域，利用矩阵还可以解决生活中的许多实际问题例如交通问题、人口流动问题和销售额记录问题等等。本文着重论述了矩阵在经济领域中的应用，结合与矩阵论相关的经济学背景，基于解决经济问题的可行性和实际性，最终确定对生产成本计算、最优化模型、商品交换模型、投入产出模型、扩大再生产模型和商品定价等六个典型模型展开分析讨论，由此较详实地阐释了矩阵理论在经济学中的实用价值。

关键词：矩阵经济应用

Application of matrix in economic field

Abstract：Matrix theory is an important foundation of modern mathematics. It is widely used in various fields of nature and social science. We can also use matrix to solve many practical problems in life, for example, traffic problems, personnel flow , record sales and so on. This paper focuses on the application of matrix theory in economic field. Based on the feasibility and practicality of solving the economic problems, this paper discusses six typical models in economics including production cost calculation, optimization model, commodity exchange model, input-output model, expanded reproduction model and commodity pricing model. From these models ,the practical value of matrix theory in economics can be explained in more detail.

Keywords: matrix economy application

目录

摘要 i

Abstract i

目录 ii

一、绪论 1

1.研究背景 1

2.研究目的、意义与内容 2

二、矩阵的概念、性质及相关定理 3

1.矩阵的概念 3

2.矩阵的乘法 3

3.矩阵的逆 4

4.线性方程组求解相关结论 6

4.1利用可逆矩阵求解方程组 7

4.2利用初等行变换求解方程组 8

5.矩阵的特征值和特征向量以及矩阵对角化判定 9

6.特征值的估计-盖尔圆盘定理 12

三、矩阵在经济学中的应用 13

1.矩阵乘法的应用-生产成本计算 13

2.矩阵求解方程组的应用 14

2.1最优化模型 14

2.2商品交换模型 17

2.3投入产出模型 18

2.4扩大再生产模型 21

3.矩阵特征值和特征向量的应用-商品定价模型 22

四、总结 25

五、致谢 25

六、参考文献 26

一、绪论

1.研究背景

根据世界数学发展史的记载，矩阵概念产生于19世纪50年代，是为了解线性方程组而产生的。然而，在公元前我国就已经有了矩阵的萌芽。在我国的《九章算术》一书中已有所描述，只是没有将它作为一个独立的概念加以研究，而仅用它解决实际问题，所以没能形成独立的矩阵理论。

1850年，英国数学家西尔维斯特在研究方程的个数与未知量的个数不同的线性方程组时，由于无法使用行列式，所以引入了矩阵的概念。1855年，英国数学家凯莱在研究线性变换下的不变量时，为了简洁、方便，引入了矩阵的概念。1858年，凯莱在《矩阵论的研究报告》中，定义了两个矩阵相等、相加以及数与矩阵的数乘等运算和运算律，同时，定义了零矩阵、单位阵等特殊矩阵，更重要的是在该文中他给出了矩阵相乘、矩阵可逆等概念，以及利用伴随矩阵求逆矩阵的方法，证明了有关的运算律，如矩阵乘法结合律，两个非零矩阵的乘积可以为零矩阵等结论，定义了转置矩阵、对称矩阵、反对称矩阵等概念。1878年，德国数学家弗罗伯纽斯在他的论文中引入了矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子等概念，证明了两个矩阵等价当且仅当它们有相同的不变因子和初等因子，同时给出了正交矩阵的定义。1879年，他又在自己的论文中引入矩阵秩的概念。