摘要：“矩阵”这个词是由希尔斯维特与 1861 年引进的，他是为了将矩阵和行列 式区分开才创造了这个词。矩阵的理论是线性方程组的理论基础，也是线性代数 的的主要组成部分。而在矩阵的理论中，矩阵的秩是一个基本的概念，也是矩阵 最重要的数量特征之一，它在初等行变换下是一个不变量，矩阵的固有特性由它 反映出来，它是在解决线性代数问题的一个简易实用的基本工具。向量组中的秩， 就是极大线性无关向量组中的向量个数。矩阵的秩，就是矩阵列（或行）向量组 中，极大线性无关向量组中的向量个数。也可以化成行最简形矩阵，然后数一下 非零行的行数，就是秩。利用矩阵的秩可以证明线性相关无关性，可以找出向量 组的极大线性无关组、可以求解线性方程组的基础解系及通解，并且可以确定向 量空间的基及维数。所以本论文根据线性代数中的知识和课外文献，浅探矩阵的 秩的基本应和其更深层次的应用及其在生活中的实际应用。

关键词：秩：矩阵：向量组：线性方程：向量空间

Abstract：The word "matrix" is presented by Hillsworth in order to distinguish the matrix from the determinant of numbers in 1861. The theory of the matrix is the theoretical basis of linear equations and the main component of the linear algebra. In the theory of matrix, the rank of matrix is a basic concept and one of the most important quantitative features of the matrix. It is an invariant under the elementary row transformation, reflects the inherent characteristic of the matrix, and a simple and practical basic tool for solving linear algebra problems. The rank in the vector  group is the number of vectors in the maximal linear extraneous vector group. The rank of the matrix is the number of vectors in the matrix (or row) vector group, the largest linear independent vector group. It can be transformed into a row  simplest form matrix, then the number of non zero line is the rank of matrix. By using the rank of the matrix, we can prove the linear correlation independence, find the maximal linear unrelated group of the vectors groups, solve the basic solution and general solution of the linear system, and determine the basis and dimension of the vector space. Based on the knowledge and extracurricular literature in linear algebra, this paper explores the basic, deeper, and practical application of matrix rank.

Key words: rank: matrix: vector group: linear equation: vector space

目 录

第一章 引言„„6

第二章 线性代数中有关秩的应用„„8 2.1 秩的定义及性质„8

2.2 向量组的线性相关无关性 9

2.3 向量组的极大线性无关组 10

2.4 求解线性方程组解的结构 11

2.4.1 判断方程组解的个数 11

2.4.2 齐次线性方程组的通解 12

2.4.3 非齐次线性方程组的通解 14

2.5 判断二次型的正定 15

2.6 向量空间的基和维数 16

第三章 秩在线性代数中的潜在的更深层次的用途 18

3.1 线性映射与矩阵的秩的关系 18

第四章 矩阵的秩在更深层次的应用 23

4.1 “双子”矩阵的秩在 DEDS 等价系统中的应用 23

4.2 矩阵的秩在空间几何中的应用