几类特殊的环的性质及其应用(2)
(1) 有单位元；
(2) 中每一个非零元都可逆，则称 是一个除环．一个交换除环称为域．
定义 (循环环)如果群 可以由一个元素 生成，即 ，则称 为由 生成的一个循环群，并称 为 的一个生成元．于是是一切形如 的元素生成的群，亦即
一个环 关于其加法作成一个加群，用 表示，若加群 是一个循环群，则称环是一个循环环，若 则循环环可以表示成
若 在加群 中的阶为 ，则可表示为
定义 (模 剩余类环)任意取定一个正整数 ，令 为由 个剩余类
， ， ， ，
作成的集合．下面规定剩余类的加法与乘法，使 作成一个环．
任取 ， ，规定： + = ， = ．下面证明这是 的两个代数运算．
设 = ， = ，则 ， ．从而 ，即有
= ．这就是说，剩余类的加法与每类中代表元素的选取无关，故加法是 的一个代数运算．此加法显然满足结合律与交换律；又 是零元， 是 的负元．因此， 对加法作成一个群．同法可证，剩余类乘法 = 也是一个代数运算．又易知乘法满足结合律和交换律，且乘法对加法满足分配律，故 作成一个环，是 阶有单位元的交换环，称为模 剩余类环．
定义 若有一个环 到环 的映射 满足
( ， )，
则称 为环 到环 的一个同态映射．
定义1．19设 是一个环， S ，若S关于 的加法、乘法作成环，则称S是 的一个子环， 是S的扩环，记作S ．
类似地，可以定义整环的子整环，除环的子除环，域的子域等概念．
若 ．且 {0}， ，则称S是R的非平凡子环．
若 ，且 ，则称 是 的真子环，记作 ．
定理 中非零元 如果与 互素，则为可逆元；如果不与 互素，则为零因子．
定理 如果 是素数，则环 是一个域；如果 是合数，则环 有零因子 ，从而不是域．
定理 设 是两个正整数，则
定理 除去零乘环外，在同构的意义下，循环环有且只有整数环以及剩余类环及其子环．