配煤槽水分分布模型的有限元解法模拟仿真(3)
(a) 竖直向上为高度 , 以配合槽的最低点为原点; 用于切煤和加煤模型;
(b) 竖直向下为深度 , 以当前在配合槽中的煤的顶部为原点; 用于渗透模型.
（4）整个配煤槽为封闭系统, 与外界没有水分交换(仅当底部含水率超过饱和含水率时, 有水分溢出), 不受外界环境(如温度和湿度)的影响.
（5）煤静止后, 需过一定时间( )后才发生渗透, 该时间与煤的参数(如粒级等)有关.
（6）切煤过程不发生渗透.
（7）每次新加入的煤具有均匀的含水率.
2.1.2问题分析和模型建立
设深度 , 含水率 . 对于空间方向每个点 , 分析 时刻该点处的含水率变化. 主要的物理现象有两种:
(1) 水分在重力, 阻力等作用下产生的对流;
(2) 水分由含水率高处往低处的扩散.
因此, 考虑两种类型的正向流速(这里的流速是指含水率的变化速度, 正向表示沿着深度 的正方向):
(1) 对流速度 , 与该点的含水率 有关, 即 . 含水率越大, 流速越大; 且对流的方向为竖直向下, 因此 是 的单调递增函数. 设 与 成指数关系. 注意到, 当 时, . 一般情况下, 取具有如下形式的对流速度:
(2.1)
其中 , .
(2) 扩散速度 , 与该点处含水率在空间方向的变化率 ( )有关, 即 .
(a) 一方面, 当 (即含水率随深度的增大而增大)时, 扩散方向为竖直向上, 沿深度的负方向, 则 ; 类似地, 当 时, ; 因此, 与 符号相反.
(b) 另一方面, 越大, 则扩散速度越快, 因此 是关于 的单调递增函数. 若 时扩散速度函数为 , 则当 时, 扩散速度为 , 即扩散速度 为关于 的奇函数.
设 与 成指数关系. 注意到, 当 时, . 一般情况下, 取具有如下形式的扩散速度:
由上面的分析, 时刻 处的含水率变化可由如下的微分方程来描述:(2.3)
可化为对流扩散方程(2.4)
鉴于假设(4), 整个过程与外界没有水分交换, 应采用第二类齐次边界条件
2.1.3 数值求解
本小节讨论所建立的渗透模型的一次有限元格式.
2.1.3.1 格式
首先进行空间离散. 对区间 进行划分. 设
记 上的分段一次多项式空间为
任意的 可表示为
其中基函数 及其导数 为
注意到对于 , 有 . 因此无法用一次有限元方法直接求解对流扩散方程(2.4), 故仍考虑求解其等价问题(2.3).
现将对流速度 和扩散速度 化为关于空间变量 的形式, 即设
于是方程(2.3)化为
对(2.5)进行空间离散, 得到半离散格式: 求 , 使得 , 有
(2.7)
下面进行时间离散. 设时间步长为 , . , 记 ,
(2.8)
设 为已知含水率初值. 对半离散格式(2.7), 用向前差分格式进行时间离散, 得全离散格式: 求 , , 使得
将(2.8)和(2.6)代入(2.10)第一式得
取 , , 则可由 解出 . 设向量 , 记矩阵 和 的元素为
格式(2.11)可化为矩阵形式
(2.12)
2.1.3.2 格式中的矩阵和向量分析
接下来分析(2.12)中的已知量, 即 , , , .
首先求 的元素 .
时, .
时, , .
关于 有对称性, 即 . 于是,
时, , .
时, 由于边界基函数和内部基函数的形式不同, 故分成以下几种情况分别讨论.
的元素 可通过下式求得
的元素 , 其中 的求法如下.
(1) 方法1: 利用 . 对于边界节点,
但对于内部节点( ), 的左右导数值不同, 故采用取平均值的方式