巧用函数奇偶性及积分区域对称性解决积分问题
毕业论文关键词：对称性；奇偶性；曲线积分；曲面积分
Using Function Parity and Symmetry of Integral Region Solve Integral Problem
Abstract: In the computation of integrals, in the face of complex functions and integrals in the form of regional integration, by the symmetry of the parity function and integral area can skillfully solve the problem, and then the operation time saving. In this paper, through examples respectively to explore their application in triple integral, double integral, simple definite integral, curve surface integrals of the first
kind and second type of curve and curved surface integral.
Key words: Symmetry；Parity；Curvilinear integral；Surface integrals
目 录
摘 要. 1
引言 2
1 积分区域的对称性 3
2 函数的奇偶性 3
3 函数奇偶性和积分区域对称性在积分中的应用 4
3.1在简单定积分中的应用 4
3.2在二重积分中的应用 4
3.3在三重积分中的应用 7
3.4在第一类曲线、曲面积分中的应用 8
3.5在第二类曲线、曲面积分中的应用 11
4 结束语 14
参考文献 15
致谢 16
巧用函数奇偶性及积分区域对称性解决积分问题
引言
奇偶性和对称性不仅是数学形式美的展现，而且也是解决数学问题的有效途径和方法，以达到计算的省时省力，从而让繁杂的数学计算充满趣. 比如我们在数学分析中学习定积分时，了解到这样的结论：当积分区域关于原点对称且被积函数为奇函数时，此积分的值为0；当积分区域对于原点对称且被积函数为偶函数时，此积分的值为被积函数在单侧区间上积分值的2倍.
很多文献对可积函数类及其性质进行了讨论.文献[1][9][11]主要对函数奇偶性和区域对称性在各类积分中的定义和定理作了详细的论述；文献[3][4][5][6]主要对各类积分的性质作了论述；文献[10]主要论述了函数奇偶性和区域对称性在二重积分中的应用.
本文将在理解函数奇偶性和区域对称性性质基础上，探讨函数奇偶性和区域对称性在简单定积分中的应用，更多的将探讨它们在二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分中的应用，通过对比各种积分形式，归纳总结出切实好用的方法，使积分计算更加简便.
1. 积分区域的对称性
对积分区域对称性的定义有：
定义1 设 是任一空间区域，
（1）若点
（2）若点
（3）若点
（4）若点
（5）若点
（6）若点
（7）若点
2. 函数的奇偶性
定义2 对于函数 ，有如下定义：
(1)若 定义域内的 ( )，有 = 或者 1，则称 为偶函数.
(2)若 定义域内的 ( )，有 = 或 ，则称 为奇函数.
(3)若 定义域内的 ( )，有 = 与 = ，（ ，且 关于原点对称）.则 既为偶函数也为奇函数，称为既奇又偶函数.
(4)若 定义域内的存在一个 ，使得 ，存在一个 ，使得 ，则 既不为偶函数也不为奇函数，又可称为非奇非偶函数.