完备集的性质及应用+文献综述(2)
定义4 如果 既非E的内点又非E的外点，也就是说： 的任意邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点，则称 为E的界点或边界点。
定义5 设E是 中一点集， 为 中一定点，如果 的任一邻域内部都含有无穷多个属于E的点，则称 为E的一个聚点。
定义6 设E是 中一点集， 为 中一定点，如果 属于E但不是E的聚点，则称 为E的一个孤立点。
E的全体内点所成的集合，称为E的开核，记为
E的全体界点所成的集合，称为E的边界，记为
E的全体聚点所成的集合，称为E的导集，记为
称为E的闭包，记为
定义7 设 ，如果E 的每一点都是E的内点，则称E为开集。
E为开集的充要条件是 ，即
定义8 设 ，如果E 的每一个聚点都属于E，则称E为闭集。
E为闭集的充要条件是
定义9 设 ，如果 ，则称E为自密集。另一种描述：当集合中每点都是这个集合的聚点时，这个集就是自密集。或没有孤立点的集就是自密集。
定义10 设 ，如果 ，则称E为完备集。没有孤立点的闭集就是完备集，即自密闭集称为完备集。
例如：空集是自密集，也是完备集。
[a,b]，以及全直线都是完备集。
定义11 空间任意邻域内至少包含某点的一个邻域，其中不含E的点，则称E为疏朗集合或无处稠密集合，即 没有内点。
2 完备集的性质
2．1 直线上的完备集的构造
直线上开集构造定理
构成区间：设G是直线上的开集，如果开区间 ，而且端点 不属于G，那么称 为G的构成区间。
定理1（开集构造定理） 设G是直线上的非空开集
（1） G可表示为至多可数个互不相交的构成区间的并。
（2） 若非空开集G已表示为至多可数个互不相交的构成开区间的并，则这些区间为G的构成区间。
注：1°这些开区间 为G的构成区间。
2°对于R1中的无界开集，将 也算作构成区间。
定理2 直线上的闭集或是全直线或是从直线上挖去至多可数个互不相交的开区间后剩下的集。
定理3 直线上的闭集或是全直线或是从直线上挖去至多可数个互不相交且无公共端点的开区间后剩下的集。
2.2 完备集的性质
1 由定义可知，完备集是自密闭集，也就是没有孤立点的闭集。
（1）完备集是闭集；
（2）完备集是可测集；
（3）完备集是自密集；
（4）完备集没有孤立点。
2 闭集性质：任意多个闭集之交仍是闭集，有限多个闭集之和仍是闭集。
注意：任意多个闭集的和不一定是闭集。例如，
是闭集，但 不是闭集， 是闭集。
完备集虽然是闭集，但并不满足闭集的上述性质，即任意多个完备集之交不一定是完备集，有限多个完备集之和不一定是完备集。例如，
1. ，每个 都是长度不为0的闭区间，故 为完备。易知 两两互不相交，当 时， 的左端趋于零。因此 ，但 ，故 不是完备集。
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