等熵相对论欧拉方程组零压流体的Riemann问题(2)
其中 是理想流体的密度, 速度, 压力, 比熵和能, 是坐标 的函数，且内能与速度和内能 的关系如下
Euler方程组是非线性双曲守恒律最重要的例子之一，它最大的特点和困难在于解中会出现间断现象. 所以Euler方程组的研究长期以来为人们所重视，并且对其一文问题的研究已经形成了系统与完整的理论.
1．2 相对论流体力学与相对论Euler方程
相对论流体力学是一门交叉学科, 涉及多种理论和应用领域, 它和天体物理学、宇宙学、等离子体物理学、核物理学中的重离子反应等多种学科关系密切, 并伴随着这些学科的发展而发展起来. 相对论流体力学包含了经典(Newton)流体力学, 后者只是前者在引力场很弱, 速度很低(与光速比较), 压力不大, 温度不高等条件下的近似. 考察流体运动时, 如果流体的宏观速度接近于光速, 就必须考虑相对论效应. 同时, 我们还会看到, 即使流体的宏观速度没有达到必须考虑相对论效应的程度, 但如果流体粒子的微观速度很大, 相对论效应也不能忽略.
在理论方面, 从Einstein建立相对论的早期开始, 研究相对论流体力学运动规律的任务就已经提出来了. 例如Einstein在其 [1]中就曾指出:可根据场方程建立无摩擦绝热流体的Euler方程组. Taub在1948年得到一些重要的基本理论. Landau和Lipshitz在其[9]中用一章专门来阐述相对论流体力学的基础.Lichncrowicz于1967年出版了他的专著《相对论流体力学和磁流体力学》一书, 此书系统论述了相对论流体力学的理论基础. Weinberg在他的名著《引力论和宇宙论》一书中也有不少地方叙述相对论流体力学.但真正对相对论流体力学的研究, 起步却较晚, 直至1970年才举行了第一次关于相对论流体力学的国际研讨会. 此后的二十多年中, 随着相对论本身的深入研究和天体物理学, 等离子物理及核物理等的发展需要, 这方面的研究才得到了相应的发展, 并取得了重大的进展.
相对论流体力学中Euler方程组的推导过程如下：
时空中理想流体的能量-动量张量
（1.1）
其中 表示平直的 时空的度量矩阵, 且
表示固有坐标系下的质量能量-密度， 表示压力， 表示四文速度为 ，这里 是固有的时间间隔， 表示 时空中的自变量，且 表示光速. 如果流体的速度为 ，则其满足
(1.2)
且满足 这一限制条件.
对于相对论流体而言，质量不再守恒，但是粒子数守恒，假设固有参考系里单位体积的粒子个数为 ，容易得到一般参考系的粒子数守恒方程
（1.3）
如果对（1.1）两边关于自变量 两边取散度得
（1.4）
具体地，（1.3）结合（1.4）得到如下三文相对论欧拉方程组的方程模型 （1.5）
其中 表示关于空间变量 求散度。上述方程中第一个方程表示粒子数守恒方程，第二个方程表示动量守恒方程，（因为速度为向量，它其实包含三个方程），第三个方程为能量守恒方程。
此外，质量-能量密度和粒子数满足如下的关系
（1.6）