一类推广的函数列的积分中值点的渐近性
关键词 推广的积分中值定理；函数列；渐近性；积分中值点 1
、引言 社会在发展、科技在进步，数学的发展也随之进行.在数学的各个分支中，微积分的创立，为数学的发展奠定了不可动摇的基础.积分中值定理是函数和其积分之间关系的纽带，同时也是用积分来研究函数的分析性质或者用函数来研究积分的相关性质的有效方法，是微积分学中的基本定理.文献[1]中有关积分中值定理的部分为本文作了充分的知识铺垫.该定理说明了函数积分中值点是存在的，中值点的具体位置根据函数的性质确定.积分中值点渐近性的研究已经比较广泛，如文献[2-5].研究的内容主要包括：函数积分中值点的渐近性；将区间长度趋于零，或者趋于无穷大，论文网或者区间端点同时趋于区间内一定点时函数积分中值点的渐近性；将渐近性结果应用到误差估计和收敛速度中去等.本文主要讨论了非负连续严格单调函数列在推广的第一积分中值定理条件下的积分中值点的渐近性. 2、预备知识 以下是文献[1]中推广的积分第一中值定理，下文的主要定理都将引理1作为命题的条件. 引理1 （推广的积分第一中值定理）若函数() fx和() gx都在[ , ] ab上连续，且() gx在[ , ] ab上不变号，则[ , ] ab ，使得 ( ) ( ) ( ) ( )bbaaf x g x dx f g x dx . 证 不妨设( ) 0 gx ，[ , ] x a b ，这时有( ) ( ) ( ) ( ) mg x f x g x Mg x ，[ , ] x a b ， 其中M和m分别是() fx在区间[ , ] ab上的最大值和最小值.由积分的不等式性，得 ( ) ( ) ( ) ( )b b ba a am g x dx f x g x dx M g x dx ， 若( ) 0bag x dx ，则由上式知( ) ( ) 0baf x g x dx ，从而对任何 [ , ] ab ，结论都成立. - 2 - 若( ) 0bag x dx ，则得 ( ) ( )()babaf x g x dxmMg x dx， 由闭区间上连续函数的介值性，[ , ] ab ，.. st ( ) ( )()()babaf x g x dxfg x dx ， 这就证得引理1成立. 以下的引理 2 和引理 3 是文献[2]中的主要定理，探讨了非负连续严格单调函数列的积分中值点在区间内的的渐近性，对本文有一定的启发作用. 引理2 设() fx是区间[0,1]上的连续函数，() fx 0 ，且严格单调递增，, nN [0,1] n ，.. st10( ) ( )nnn f f x dx ，则lim 1 nn. 引理2说明非负连续严格单增函数积分中值点是收敛的，且收敛于区间端点.相关证明详见文献[2]，这里就不再赘述了.此外对于() fx在区间上严格单减时的情形文献[2]还给出了相应结论，如下引理3. 引理3 设() fx是区间[0,1]上的连续函数，() fx 0 ，且严格单调递减，, nN [0,1] n ，.. st10( ) ( )nnn f f x dx ，则lim 0 nn. 本文主要是在引理2和引理3 的基础之上，将引理 2中所用到的关于函数列()nfx的积分第一中值定理等式延伸到利用函数列()nfx以及另一个可积函数() gx的推广的积分第一中值定理等式，并且对可积函数() gx要求在区间上不变号，最后仍得到原命题的结论，也就是函数列()nfx的积分中值点仍然收敛，并且极限是原命题中的极限值.这就是下文定理1的内容，后面又类似的得到其他三个结论，也就是定理2 至定理4. 3、主要定理 定理1 设() fx是区间[0,1]上的连续函数，( ) 0 fx ，且严格单调递增，函数() gx在[0,1]上可积、 不变号，, nN [0,1] n ，.. st1100( ) ( ) ( ) ( )nnn f g x dx f x g x dx ， 则lim 1 nn.
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