托勒密定理的应用及推广
毕业论文关键词 托勒密定理；证明；应用；
推广托勒密定理实际出自古希腊天文学家希巴恰斯之手，托勒密从其书中摘录并完善[1].定理指出凸四边形两组对边乘积之和不小于两条对角线的乘积， 等号成立当且仅当四边形为圆内接四边形，或退化为直线取得.狭义的托勒密定理仅对于圆内接凸四边形而言，这里主要介绍狭义的托勒密定理.一、托勒密定理的内容圆内接凸四边形两边对边乘积的和等于两条对角线的乘积，即：AC•BD = AB•CD + BC•DA.二、定理的证明证法一 （平面几何法）如图 1，ABCD为圆的内接凸四边形，连接其对角线 AC、BD.在 BD上取一点 P，连接AP,使得∠BAP=∠CAD.那么，在弦 AD 上，∠ABD=∠ACD，所以△ABP∽△ACD，故ABAC=BPCD，即 AB•CD=AC•BP（*）在弦 AB上，∠BCA=∠PDA，又因为∠BAC=∠DAP，故△BAC∽△PAD，所以BCPD=ACAD,即 BC•AD=PD•AC （**）（*）+（**）有：AB•CD+BC•AD=AC•（BP+PD），即有等式 AB•CD + BC•DA= AC•BD.证毕.证法二 （代数中和差化积法）设弦 AB、BC以及 CD 对应的圆周角分别为α、β及θ，外接圆半径为 R.那么 AB＝2R sin ，BC＝2R sin ,CD=2R sin ，AD=2R ） （ sin ，AC＝2R ） （ sin ，BD=2R ） （ sin .于是,有下列等式成立：AB•CD＝2R sin •2R sin ；BC•DA＝2R sin •2R ） （ sin ；AB•CD + BC•DA＝2R sin •2R sin +2R sin •2R ） （ sin ，拆开进行重组，可得原式等于 4R2） （ sin • ） （ sin ，即 AB•CD + BC•DA= AC•BD成立.证毕.证法三 （分析法）设 AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，AC=e,BD=f.如果结论成立，只需证明 ac+bd=ef.将上式两边同时除以 e,则要证明ace+bde=f，可以假设 BP=ace，那么只需证明 PD=bde, 而若 PD=bde成立，则只需证明△ADP∽△ACB，这只需证明∠BAP=∠CAD，进而需证明△ABP∽△ACD.又因为 BP=ace,所以△ABP∽△ACD，结论成立.证毕.除了以上三种，还有其他的证明方法，不过出发的思路大同小异，这里不做赘述.三、定理的应用1、托勒密定理在解析几何中的应用例 1（求线段之间的代数关系） 如右图 2，P 是正三角形外接圆劣弧 BC 上的任意一点 （不与 B、 C重合） ， 求证： PA=PB+PC.解析 此题可以用延长线的方法来证明三角形全等， 进而得到相应线段关系，但比较繁琐.出现圆内接的凸四边形，应该联想到托勒密定理.证明 由题得知，四边形ABCP 是圆的内接四边形，AP、BC为其两条对角线，且 AB=AC=BC，设 AB=AC=BC=a.由托勒密定理，AB•PC+BP•AC=AP•BC，则有 a•PC+BP•a=AP•a，消去相同因子，得 PC+PB=PA.证毕.例 2（求图形的面积) 点 P 在以 F1，F2为焦点的椭圆x212+y23=1 上，∠F1PF2 =π3,求△F1PF2的面积.解 如右图， 设 PF1=a， PF2=b； 延长 F1P 至点 R，使得 PR=b；延长 F2P 至点 Q，使得 PQ=a，连接 QR，QF1，RF2.因 为 ∠ F1PF2 =π3， 所 以 ∠ F1PQ= ∠F2PR=2π3,F1Q= 3 a，F2R= 3 b.由椭圆的性质， a+b=4 3 ， F2F1=6， 可知 QR=6.又因为∠F1QF2=∠F1RF2，所以 F1，F2，Q，R四 点 共 圆 ， 由 托 勒 密 定 理 ，F1R• F2Q=QR• F1F2+QF1• RF2， 即 （a+b） （a+b） =36+3ab.代入数据得 ab=4,故 S△F1PF2=12ab•sin∠F1RF2=12•12•4 3 = 3 .例 3（求证三角形勾股定理) 在 Rt△ABC中，∠B= o90 ，求证：AC2=AB2+BC2.
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