条件极值的充分条件及其应用(2)
凡是不满足该条件的点也都是极值嫌疑点.若 x x x f y n , , , 2 1 及 x x x n , , , 2 1 ) ; , , 3 , 2 , 1 n m m i （ 有连续的偏导数，且 Jacobi矩阵) , , , () , , , (2 12 1nnx x xx x x的秩为 m r （不妨设行列式 0) , , , () , , , (2 12 1nnx x xx x x ），那么函数 ) , , , ( 2 1 n x x x f y 在条件 x x x n , , , 2 1 ) ; , , 3 , 2 , 1 n m m i （ 限制之下的极值点，可用 Lagrange 乘数法寻求.3.3.1 判别条件极值的方法首先作 Lagrange 函数) , , , ( ) , , , ( ) , , , ( 2 112 1 2 1 nmii i n n x x x x x x f x x x L ，然后解方程, 0 '1 x L ， ) ; , , 3 , 2 , 1 ( 0 ) , , , ( , 0 , , 0 2 1' '2n m m i x x x L L n i x x n ，求出稳定点.这里i为待定常数，有时不一定要求出.最后，对稳定点进行判别，常用的方法是i）利用极值点的定义进行判别.ii）利用实际背景进行判别.iii）利用 Lagrange 函数的二阶微分进行判别.若在某稳定点 0 P 处（i用相应的值）) 0 ( 0 2 z d则 f 在此点 0 P 取条件极小（大）值，其中) ( ) ( ) ( 02221102P L dxxdxxdxxP L d nn ) , , 2 , 1 ( , 0 ) ( 01' 'n i dx x dx P L i j knix x j k 应满足方程) , , 2 , 1 ( 0 ) ( 0 m j dx Pxiij .3.3.2 结合实际背景、二阶微分进行判别例 1 求函数 z y x z y x f4 4 4, , 在条件 1 xyz 下的极值.该极值是极大值还是极小值？解 1 L 1 4 4 4 xyz z y x ，0 4 3 ' yz x Lx ， (1)0 4 3 ' xz y Ly ， (2)0 4 3 ' xy z Lz ， (3)1 xyz . (4)解此方程组，得四解 1 , 1 , 1 ， 1 , 1 , 1 ， 1 , 1 , 1 ， 1 , 1 , 1 ..在这些点上 3 , , z y x f ，下面我们将证明这些点均为极小点，由对称性可知只需证明其中一个.例如 1 , 1 , 1 1 P ，考虑第一相线，因为在曲面 1 xyz 上， yy x z y x f4 44 4x1, , .在Oxy 平面上，以 2 ,41, 2 ,41 y y x x 四条平行于坐标轴的直线，围成一个矩形
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