环上的线性方程组研究+文献综述(2)
显然（*）有解
r(A)=r≤n。
因为 r（A）=n 方程有零解，故结论成立.
2.解的唯一性
在上面有解的条件下，我们讨论解的唯一性
（1）若 r=n，由（**）可推得方程组（*）有唯一解：
（2）若 r<n，由（**）可推得与方程组（*）同解的方程组：
其中
1 rn xx ， ，
为自由未知量（
nr
个）, 表明方程组（*）有无穷多解。它的全
体解（一般通解）为：
故我们有：
定理：
（1）齐次线性方程组有非零（无穷多）解的充要条件是 r(A)=r<n；
（2）若r(A)=r=n，则齐次线性方程组有唯一解且为零解。
3.无穷解的表达式
当 r(A)=r<n 时，齐次线性方程组有非零（无穷多）解，我们已经得到了方程
的一般通解，但其求解较复杂，下面我们将利用方程组的基础解系找出此时方程
组的简单通解。
对（Ⅰ），我们令
则可分别得到相应的解，从而得到方程组的 n-r个解向量：r n
是其次线性方程组的一个基础解系：
① 证向量组
线性无关。 本科毕业设计说明书（论文） 第 6 页 共 27 页
由上面的
可以看出它们每个向量的下面 n-r 个分量，就是 n-r
个 n-r 文单位向量，它们是线性无关的，因而添加了 r 个分量的向量组也是线性无关
的。 ② 再证齐次线性方程组的任意一个解都可以由
是其次线性方程组的任一解。
都是方程组的解，所以它们的线性组合
也是齐次线性方程组的解。而线性组合
因（3）与（1）式它们最后 n-r 个分量相同，而前 r 个分量都是由（Ⅰ）式方程解出
的，从而也相同，因而两个解完全一样。
是齐次线性方程组的一个基础解系。
因此，齐次线性方程组的所有的解可以由{
}线性表出，即所
有解有如下形式：