摘要：确界原理是刻画实数连续性的命题之一，本质上体现了实数的完备性，是数学分析中重要的六大原理之一．确界原理在极限理论中起着基础性的作用，尤其在微积分的理论中占有非常重要的地位，关于确界原理的证明方法也是各种各样．本文给出了确界原理的几个证明方法以及确界原理在相关知识中的应用．48863

毕业论文关键词：确界原理；证明；应用；达布定理

The Proof And Application of Supremum And Infimum Principle

Abstract: Supremum and infimum principle is one of the propositions to describe the continuity of real numbers, and in nature, reflects the perfection of real numbers. Besides, it is one of the six basic principles in mathematical analysis. Being the foundation stone of the limit theory, the principle plays a very significant role especially in the theory of calculus. What is more, its proving methods are various. In this paper, several methods of proving the principle and applications in its interrelated knowledge are given.

Key words: Supremum and infimum principle; proving methods; application; Darboux theorem

目  录

摘要 1

引言 2

1.确界原理的证明 2

1.1 确界原理的一个修正证明 2

1.2 确界原理的一个简单证明 4

1.3 确界原理新证 5

2.确界原理的应用 6

2.1 用确界原理证明连续函数的两个重要定理 6

2.1.1 用确界原理证明根的存在定理 6

2.1.2 用确界原理证明最大值、最小值定理 8

2.2 用确界原理证明达布(Darboux)定理 8

2.2.1 预备知识 8

2.2.2 用确界原理证明达布定理 11

结束语 13

参考文献 14

致谢 15

确界原理的证明及其应用 引言

确界原理在数学分析中占用非常重要的作用．确界原理的证明非常复杂难懂，对于初学者来说难于理解．本文首先对华东师范大学数学系编的《数学分析》中确界原理证明的不足之处进行补充，给出了一个修正的证明．修正证明同样复杂冗长，本文又用反证法给出了一个简单证明．确界原理是实数基本原理之一，与其他五大基本原理可以互推，本文利用完全覆盖的方法给出了确界原理的第三种证明方法．确界原理在数学分析中的应用也非常广泛，本文使用确界原理证明了连续函数的两个非常重要的定理以及达布定理．

1. 确界原理的证明

1.1 确界原理的一个修正证明

华东师范大学数学系编的《数学分析》（第四版）利用无限小数的表示法去证明确界原理的做法显得非常简洁，巧妙，独特，但如果仔细研究它的证明过程，可以看出当中也是有很多不完美的地方的：①证明中说“为了方便叙述，假设S含非负数”，这样假设是根据什么呢？②证明中的 ,源^自,优尔"文'论.文]网[www.youerw.com，它们的存在性都没有作出证明．③证明当中给出了实数    ，如果从第 位开始    ，那么 的无限小数的表示方式就不再符合以前学习的关于实数表示的定义，因此也就没有办法直接使用这本书的第二页给出的“命题”来证明  上确界． 为了避免在确界原理证明中存在的以上问题，现在给出一个更加严谨合理的、细致的、修改以后的证明．