摘要本文通过对一元函数导数、二元函数导数（梯度）及多元向量值函数（矩阵）导数定义以及几何、物理意义的分析,以一元函数导数和二元函数导数的定义为例,再推广到多元向量值函数导数,具体讨论了一元函数可导与多元向量值函数可导的区别与联系,最后探讨了导数在高中课本单调性中的应用.49071

毕业论文关键词： 导数  梯度  矩阵导数

Difference and connection between one variable   function and vector-valued function of multivariable

Abstract In this article, we studied the derivatives of function of one variable, several variables, and vector-valued function, which form might be scalar, vector and matrix. Based on their fruitful background arising from physics, mathematics, and et al. We pay all our attentions to the collections between derivatives of function with one variable and vector valued functions. Finally, we make some discussions on its application to the high school teaching, especially in monotonicity theory.

Key Words: derivative  gradient   matrix derivatives

目  录

摘要-Ⅰ

AbstractⅡ

目录-Ⅲ

第一章 引言1

第二章 一元函数及多元函数导数的定义2

2.1 导数的定义2

2.2 定义与梯度的联系-4

2.3 定义与矩阵导数的联系5

第三章 导数在中学单调性中的运用8

参考文献-10

致谢-11

第一章 引言对于函数导数的定义我们已经有了较深刻的认识.特别地，从一元函数导数的定义,我们可以知道,一元函数的导数是相应函数值之差与自变量之差比值的极限值,而相应函数值之差和自变量之差均为一个数,即一元函数的导数本质上是一个数.相应于一元函数,二元函数的导数形式上应该也是对应函数值之差与自变量之差比值的极限值,但此时相应函数值之差为一个数,而自变量之差却是一个向量.因此其比值不可能是数.如何理解呢?本文中我们在一定定义下将其可理解为向量,即二元函数的导数是一个二维向量.此种定义形式在数学分析和高等代数的学习中并没有作出深入的解释与说明.事实上,由向量的数量积 ,利用数量乘法来定义数与向量的除法似乎也有些意义,但是却不唯一.类似地,在多元函数导数的定义中,我们也遇到了相类似的困难：量 属于 ,而 属于 ,但我们并不知道如何用一个 维向量去除一个 维向量,这凸显出我们研究讨论的必要性和重要性.

我们通过对一元函数导数、二元函数导数（梯度）及多元向量值函数（矩阵）导数定义以及几何、物理意义的分析,以一元函数导数和二元函数导数为例,再推广到多元向量值函数导数的方法,具体讨论了一元函数可导与多元向量值函数可导的联系与区别,并探讨了导数在高中课本单调性中的应用.

第二章   一元函数及多元函数导数的定义

在本章节中我们主要讨论两部分内容,首先我们给出一元函数导数的定义并找出定义中变量与函数之间的内在关系,之后我们将这一类关系推广到多元函数及向量值函数导数的定义,特别的,代数学以及泛函分析中的线性变换或矩阵在本章内容中具有重要意义.

2.1导数的定义

在讨论新的问题之前,我们先来回顾一下一元函数的定义和几何意义：

定义2.1.1[1]  设函数 在点 的某个邻域内有定义,当自变量 在 处取得增量 （点 仍在该领域内）时,相应的函数 取得增量 ；如果 与 之比当 时的极限存在,则称函数 在点 处的导数,记作 ,即 

也可记为  , 或 .

    几何意义[1]  函数 在 处的导数 就是曲线 在点 处切线的斜率,即   .