性质1  设 为幂等矩阵,则

(1) 和 都是幂等矩阵;

(2) 的特征值只能是 或 ,且特征值 的重数为 的秩;

(3) .

定义2  设 ,若满足 ,则 称为对合矩阵,对合矩阵也是立方幂等矩阵.

性质2  设 为对合矩阵,则

(1) 是对合矩阵;

(2)

(3) 的特征值以及行列式都为 或 .

下面我们给出幂等变换,线性变换的核、值域、以及不变子空间的定义.

定义3  设 是线性空间 的一个线性变换,若满足 ,则 称为幂等变换 .

定义4  设 是线性空间 的一个线性变换, 的全体像组成的集合 称为的值域(本文用 表示),所有被 变成零向量的向量组成的集合 称为 的核(本文用 表示).

定义5  设 是线性空间 的一个线性变换, 是 的子空间,如果 中的向量在 下的像仍在 中,换句话说,对于 中任一向量 ,有 ,我们就称 是 的不变子空间,简称 子空间.

3 主要结论

引理1  设  , ,且满足 , ,则

(1) 若 ,则 为幂等矩阵;

(2) 为幂等矩阵的充分必要条件为 ;

(3) 为幂等矩阵的充分必要条件为 .

对此结论,将其适当推广到立方幂等矩阵上,得到如下推论:

推论1 设 , , 可逆,且 ,则

(1) 若 ,则 为立方幂等矩阵;

(2) 为立方幂等矩阵的充分条件为 ;

(3) 若 ,则 为立方幂等矩阵的必要条件为 .

证  (1)因为 ,故有 ,

即 为立方幂等矩阵.

(2)因为 ,则 ,

即 为立方幂等矩阵. 的情况类似可得.

(3)因为 为立方幂等矩阵,且 ,则 ,

即有 ,从而 ,

对上式右乘以 ,得 ,即有 .

又因为 可逆,则 ,源!自%优尔>文)论(文]网[www.youerw.com, ,故可得 . 的情况类似可得.

同样地,也可以得到“两个可交换的 幂等矩阵 的积也为 幂等矩阵”这一结论.

根据上述引理及推论,可以知道幂等矩阵和、差、积的幂等性,立方幂等性,对此我们考虑幂等矩阵其他线性组合的幂等性,可得到如下推论:

推论2 设 , ,且 , ,若 ,则 为幂等矩阵.

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