1.2常微分方程的初值问题概括

 无论在科学研究还是生活方面，遇到的问题中常包含微分方程问题，其初值问题概括：

                                  (1-1)                          

这里的 是一个实值的连续函数，并且关于 满足Lipschitz条件：即存在Lipschitz常数 ,对任意 ，有：

 ，

此时上述的初值问题（1-1）有唯一解[1].

1.3数值解法中的离散化思想

对于初值问题（1-1）求解出来的解 ，可以看出是一个连续函数，并且这个函数是关于变量 的，此时将初值问题（1-1）归纳为一个连续问题，现要将此问题离散化，在区间 上找到一系列离散点，求出这些点的值，初值问题的精确解就可说是计算出来的近似值.不妨设这一系列的点为 ， ，…， 有  ，根据条件我们可以算出 的近似值： ， ，… .在这为计算方便我们通常取 ， ，…， 满足这样的条件：

 ，

这里的 称为步长.上述这种求出近似解的离散化过程我们通常用的有三种方法—化微商为差商，泰勒级数展开法，数值积分法.

1.3.1化微商为差商

要想得到点 处的微商 ，计算出点 处的差商取代即可，即： .从而可以将初值问题（1-1）进行转化，得到：

                                  （1-2）

精确解 在点 处的近似解就可以用上式里面的 表达.

1.3.2泰勒级数展开法

在一点 附近运用泰勒展式将其展开，得到：

                        （1-3）

根据微分方程 ，可以解出各阶导数 在 处的值，（1-3）中的 取值为正整数.

1.3.3数值积分法

在区间 上关于微分方程 两边对 进行求积分，得到：

 ，    

此时初值问题（1-1）就可以化为：

要求出初值问题（1-1）的近似解，对上述积分求解问题运用数学分析里面的数值积分方法即可求得.

2 常微分方程的几种常用数值解法

方程发展过程中总结了很多方法来求解微分方程，常数变异法，变量代换法可以很快解决一些书本上或生活中的简单的常微分方程，单步法，多步法则用来求解那些很难得出精确解的微分方程的初值问题.

2.1单步法

2.1.1欧拉法

研究方程的解法往往都是由稍微简单的一类方程入手,源!自%优尔>文)论(文]网[www.youerw.com，得到基础解法，如本文的微分方程的初值问题研究中先得到了欧拉折线法，之后研究得到的其余数值解法就是在欧拉法基础之上得到的.

欧拉法求解过程是：先选择一个步长 ，选择 区间上一点 为切点，作出点 的切线，计算出切线的斜率 ，用 取代 ，得到切线方程：

 ，

用上式来替换解函数，可以近似计算出点 的值： ,又得到一个新的点 ，继续在点 处作该点的切线，求出切线函数，依次递推，得到：

                                       （2-1）

以上求解出递推公式的方法就是欧拉法，在求解过程中连接每一次得到的切线段得到一个函数，最终得到的图像是一个折现图，故叫欧拉折线.当选择的步长越小，直到接近于0时，折线就会越接近于我们得到的递推式子（2-1）的解函数.最简单的数值解法-欧拉法，得到的递推公式（2-1）也就很简单，是一阶显式一步法，这就决定欧拉法得到的近似解的精度不是很高，后续研究重点即要提升精确度.