4 函数单调性的解题应用 13

4.1 函数单调性在比较大小方面的应用 13

4.2 函数单调性在求参数取值范围中的应用 14

4.3 函数单调性在不等式方面的应用 15

4.4 函数单调性在方程中的应用 16

4.5 函数单调性在求极值、最值方面的应用 17

5 函数单调性在实际问题中的应用 18

5.1 函数单调性在优化路径中的应用 18

5.2 函数单调性在材料合理利用中的应用 19

5.3 函数单调性在生产利润中的应用 20

6 结论 21

参考文献 23

致谢 24

1 引言

1.1 研究背景

    函数单调性是中学数学的重要内容之一，也是高考的热点，常常作为高考压轴题的考查内容，比如，本文通过整理发现近年的高考数学题呈现一个现象，即多次要用函数单调性去做一些较难层次的题，分别是求参数范围、解不等式、证明不等式等。同时，新课标对于函数单调性的教学目标是，要求学生能够熟练掌握单调性概念的证明方法，并应用单调性来求解一些基础题。不管是高考的趋势，还是新课标所倡导的教学理念，都对学生学习函数单调性提出了较高层次的要求。但由于函数单调性的证明和应用的复杂性，使得学生在学习和做题过程中存在很多困难，通常掌握单调性的概念证明是远远不够的。那么，就出现了一个问题，除了它的概念，是否还有其他方法可以证明函数单调性，同时这些方法也可以用来解决高考题。

针对于以上提到的两点，本文选择了函数单调性的判断和应用进行研究。函数单调性本质上是函数在它的定义域或其子集内如何增减的刻画[3]。它是研究函数必不可少的内容，不论是现实生活，还是学习其它理论知识，单调性都是一个很有用的工具。 

1.2 国内外研究现状

    通过对国内外研究现状进行分析，可以知道，大部分文献都只研究了函数单调性的相关方面的研究[1][2]，而忽略了对函数单调性几个更为重要、更具有实质性的把握，文献中并没有具体说明是如何联想到用某种方法解决问题，以及这样做的优势{4}。研究发现，仍是有很多教师只按照字面上的意思去讲解函数单调性的定义；教师在引导学生探索概念的形成过程中，学生的独立思考和建构往往很容易被忽略；教师在研究函数单调性的思想方法的时，过于看重知识而忽视了过程。从这可以看出，如今有多教师及学生对有关函数单调性方面的知识把握的不够全面，不够彻底。

1.3 研究思路和方法

    关于主要内容，本课题将做如下安排：

    由于我国实行一纲多本的政策，所以为了研究得更加全面，本文把多种版本的数学教材进行了分析与比较，并且详细的对函数单调性的概念以及与之相关的一些概念、性质、定理和结论作以阐述。另外还阐述了一些常见的函数单调性的证明方法，并且把这些方法应用到具体的题目和实际生活中去,源^自·优尔|文\论]文'网[www.youerw.com 从而巧妙地利用函数单调性解决问题[12]。拟解决以下几个问题[11]：

（1）判断函数单调性的方法有哪些？哪些函数可以直接判断其单调性？