例1（第14届“五羊杯”竞赛题）已知正整数 n 大于30，且使得 4n-1 整除 2002n，则 n 等于多少？

分析：本题属于明显需要利用整除性质来解答的。由条件 4n-1 能整除2002n，得知它们的商是一个整数，由此入手探讨得出最终的答案。

解： 因为对正整数 n,4n-1 整除 2002n，所以  2002n/(4n-1)  是整数。

而2002n/(4n-1)=(2(n+250))/(4n-1)+500，又因为4n-1是奇数，所以  (n+250)/(4n-1)  是整数。

则  (4(n+250))/(4n-1)=1+1001/(4n-1)，可知 1001 能被 4n-1 整除。

因为n>30，1001=7×11×13，所以可得4n-1只能是143 。

所以n=36。

例2 （《中等数学》2007训练题） 设  x,y,a,m,n  均为正整数，且 x+y=a^m,x^2+y^2=a^n  .  求 a^300  是多少位数？

分析：本题初看题干很难有求解思路，要求〖 a〗^300  的位数，就必须利用好题中x+y=a^m,x^2+y^2=a^n这两个条件，从它们入手对等式左右进行加减乘除，继而得到与整除相关的结论，最后合理运用整除的基本性质获得结果。

解： 由已知得〖  a〗^2m=x^2+y^2+2xy=a^n+2xy .                    ①

由题假设及式①知〖  a〗^2m>a^n  . 又因为 a 是正整数，于是，2m>n .

将①两边同时除以a^n，得〖  a〗^(2m-n)=1+2xy/a^n   .                        ②

由于式②左边为正整数，所以 a^n  能整除 2xy.