摘 要：本文利用 Liouville 恒等式和因子和函数的卷积和公式推导了自然数n表为x1(x1-1)/2+3x2(x2-1)/2+x3(x3-1)/2+3x4(x4-1)/2和x1(x1-1)/2+x2(x2-1)/2+x3(x3-1)/2+x4(x4-1)/2 +k(x5(x5-1)/2+x6(x6-1)/2+x7(x7-1)/2+x8(x8-1)/2)(k=2, 3)的方法数。我们也获得了Ramanujan 函数的六个新公式。52484

毕业论文关键词： Liouville恒等式，三角形数，因子和，偶函数

Abstract:  In this paper, by using Liouville’s identities and formulas for convolution sums involving the sum of pisors we deduce formulas for the number of representations of n as  x1(x1-1)/2+3x2(x2-1)/2+x3(x3-1)/2+3x4(x4-1)/2 and x1(x1-1)/2+x2(x2-1)/2+x3(x3-1)/2+x4(x4-1)/2 +k(x5(x5-1)/2+x6(x6-1)/2+x7(x7-1)/2+x8(x8-1)/2) (k=2,3). We also obtain six formulas for Ramanujan’s function.

Key words: Liouville’s identity, triangular number, the sum of pisors, even function

目   录

1. 引言4

2.  的一般公式5

3.  的一般公式…7

4.  的一般公式9

5.  与 的计算公式…11

6.  的一些公式14

结论…19

参考文献 20

致谢 21

1． 引言

19世纪法国数学家Liouville 提出了18 个在数论上有重要用途的恒等式(可参见 )，这些恒等式可以用来计算一些因子和函数的卷积和，也可以计算一些类似   的和, 这里N为正整数集， ， 表示Legendre-Jacobi-Kronecker符号，其中 , 且 ，一些简单的  的值如下：

  在计算一个自然数n表为若干个平方数或三角形数（形如 ， ）和的方法数时，这些卷积和公式和  的公式起着非常重要的作用。例如在 中，通过用这些公式计算得到了：

 我们用 表示非负三角形数组成的集合，即 ，并令

   即 表示不定方程 在 中解的个数。在本文中，我们利用Liouville恒等式和因子和的卷积和得到了一些自然数n表为三角形数和的方法数公式，如 （参见定理2.1）， （参见定理3.1）， （参见定理4.1）。虽然   的公式在 中已经得到，但用的是一些比较高深的方法，而我们只用了一些相对较初等的方法就得到了这个公式。令

在本文的最后，我们得到了如下与Ramanujan函数 有关的因子和函数的卷积和公式，一些其它的因子和的卷积和公式见 ，

 我们也得到了如下的因子和函数的卷积和公式，源'自^优尔;文,论`文'网]www.youerw.com

2．  的一般公式

    在证明 的公式时需用如下引理，这些引理都是已知的。以下都用 ， 表示复数集。

引理2.1  , .  设 ，则 

 .

引理2.2   .  设 ,  ,则有      

  ,

这里       其中 .

引理2.3   .  设 为 到 的映射，且 为偶函数，则 时有

 ,

这里                .

若 (m为奇数)，则引理2.3等价于：

引理2.4   .  设 为 到 的映射，且 为偶函数，则 时有

          .

定理2.1.  如果 ， （ ， ）, 那么   

  .

证明:     在引理2.4中取 得：所以                      .

3．  的一般公式

在证明 的公式时需用如下引理，这些引理都是已知的。令     

    引理3.1   Theorem 15.1 .  设 ，则 

    引理3.2   Theorem 15.2 .  设 ，则

    引理3.3   Theorem 1 .  设 ，则这里的 由下式给出：