摘要：本文利用Ricceri给出的三解定理，得到了一类含p(x),q(x)-Laplacian算子的拟线性椭圆型方程弱解的存在性和多解性。

毕业论文关键词：变指数，椭圆型方程，三解定理

Abstract: Based on three critical points theorem given by Ricceri, this paper can prove the existence and multiplicity of the weak solutions to a class quasilinear elliptic equation which involves p(x),q(x)-Laplacian operations.

Key words: Variable exponent, Elliptic equations, A three critical points theorem52491

目录

1 前言 3

2 预备知识 6

3 三解的存在性10

4 结论15

参考文献16

致谢18

1  前言

现代科学技术的发展很大程度依赖于物理、化学、生物学及工程技术等成就和进展，而这些学科自身的精确化，则是取得进展的重要保证。在精确化过程中提出了大量的非线性问题，许多是非线性偏微分方程（组），这些问题的解决将对科学技术的发展产生推动作用，同时也对数学自身的发展有重要的影响。国内外在科学技术中提出的重要非线性偏微分方程，许多是拟线性偏微分方程。例如，在非牛顿流体力学和相变理论中提出的非线性本构方程即非牛顿渗流方程（组）为拟线性抛物型方程，稳态非牛顿渗流方程（组）为拟线性椭圆型方程（组）。在实际中要求对它们进行直接计算，分析它们所描述的及其丰富的规律和现象来指导实践。

本文中我们将考虑以下椭圆型问题：

其中 是一个具有 边界的有界域,实数 

 是 算子,且满足：

 定义 ;

 是一个 函数,对 ,有 .

其中,常数 

 是 的共轭函数,即有 .

如果 ,方程 变形为： 

这类方程来源于典型的反应扩散方程                                                      

其中, . 此类问题在物理和相关学科像生物物理,等离子物理, 化学反应等学科有广泛应用。在这些应用中,函数 描述了一个集中,在(1.3)右边第一项相应于扩散系数 ,而第二项是关于吸收和扩散过程的反应项。典型的,在化学和生物应用中,反应项 是 的多项式。许多作者研究了问题(1.3)的静态解,也就是下面方程：

 .其中, 取各类不同的函数.利用 的三解定理,Yin和Wen 证明了 条件下 三个解的存在性,具体来说就是研究了下列问题：

 其中, 是一个以 为界的有界域,实数 . 为连续函数. 是Carath odory函数. 利用 的三解定理,作者得到了问题 的三个弱解的存在性.

对于特殊情况 变成了典型的 问题.

在问题（1.1）中，当 ,方程 是一个 问题,即： 

它来源于非线性弹性理论、电流变体论等,参 .关于非标准 -增长条件的变分问题的研究是一个新颖而有趣的课题.利用 的变分原理, 中研究了当 时，方程 三个弱解存在性的问题；Shi和Ding 中研究了 条件下三解的存在性；Yin研究了方程 并 中得到类似的结果.源'自^优尔;文,论`文'网]www.youerw.com

     中,作者探究了如下问题： 

这里 是有界的且有光滑边界的领域, 是一个实数, 是在 上的连续函数, ,我们用 表示 的单位外法向向量。作者利用 三解定理证明了问题 的三解的存在性.

本文的目的是为了统一和推 中的主要结论并将它们拓展到更一般的情况.我们也采用 的三解定理来得到方程 的多解性.即如下定理：

定理A：设X是一个自反的巴拿赫空间,区间 ； 是一个序列弱下半连续的函数,且在 的每个有限子集中有界, 导数连续逆为 ； R是有紧G teaux导数的泛函.