摘要 :本文介绍了均值不等式，柯西不等式以及初等几何中的一些不等式.探讨了它们在平面几何、立体几何和解析几何中的应用.

 毕业论文关键词:  均值不等式，柯西不等式，等周不等式，托勒密不等式，外森比克不等式53035

 Abstract: In this paper, average value inequality，Cauchy inequality and some inequalities of elementary geometry were introduced. Their applications in plane geometry, solid geometry and analytic geometry were discussed.

Keywords: average value inequality，Cauchy inequality，isoperimetric inequality，Ptolemy inequality，Weitzenbock inequality

目  录

1  引言5

2  均值不等式5

2.1  均值不等式的定义5

2.2  均值不等式的几何应用5

3  柯西不等式9

3.1  柯西不等式的定义9

3.2  柯西不等式的几何应用9

4  几何中的不等式 11

4.1  几何不等式的应用 11

结束语16

参考文献17

致谢18

1 引言

不等式，就是用不等符号将两个整式连结起来所组成的式子.

不等式不仅可以在代数学问题中有很广泛的应用，而且还可以用来解决一些几何学问题 .本文介绍了均值不等式，柯西不等式，归纳了在初等几何中出现的不等式，并且根据它们的不同性质，结合了实例，探讨了这几类特殊不等式在几何中的应用.

2 均值不等式

2.1 均值不等式的定义 

设 ， ,, 是 个正数，一般的，我们记算术平均值为

 ，几何平均值为 ，源-自-优尔:,论'文'网]www.youerw.com

调和平均值为 ，

平方平均值（均方根）为 .

则有 ，即调和平均值不超过几何平均值，几何平均值不超过算术平均值，算术平均值不超过平方平均值.这就是均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式.

2.2 均值不等式的几何应用

均值不等式是高中数学中非常重要的基本公式，应用十分广泛，若加以巧妙利用往往可以获得比较理想的解决问题的方法.下面我们从平面几何，立体几何以及解析几何的角度来分别探讨均值不等式在几何中的应用.

根据定义我们可以看出，在运用均值不等式时，要注意：

(1)  ， ,, 均为正数；

(2) 这 个正数的几种形式的和或积为定值；

(3) 当且仅当这 个数相等时等号成立.

这三个条件我们简称为“一正二定三相等 ”，只要当他们均满足时我们才能使用均值不等式.其证明方法众多，这里就不加以赘述.对其推广及变形，也有很多.

例1 假设 和 的三条边及面积分别是 ; ；则有 ,

当且仅当 和 都是等边三角形时等号成立.

证明 设 ， 分别为 和 的外接圆的半径，由正弦定理可得对应 和 ,要证明

 ，进而证明 ，

将 带入，得 ，

进而有 ，

利用三元均值不等式的性质我们可知，当 ，

然后带入原式可得即有  .注1 由以上证明过程可以看出当且仅当 和 都是等边三角形时等号成立.因此这个结论是正三角形的一条性质.同时也是证明或判断一个三角形是否为正三角形的一个较好的方法.

例2 如图1，若半径为1，圆心为 的圆内切于底面边长为 的正四棱锥 ，试求当正四棱锥 的最小体积时对应底边边长 的值. 

解 设该圆切面 于 ,切底面正方形 于 ，作 垂直于 于点 ，我们可以知道 即为该正四棱锥的高,且 , , 三点共线， , , 三点共线.由 与 的相似性可得