弦振动方程解的唯一性与稳定性
String Vibration Equation the Uniqueness and
Stability of Solution
Abstract: The paper mains introduce the mixed problem of two-dimensional vibrating string equation, and in some conditions we can used the separation of variables to have the initial boundary value problem. The text mains to introduce the uniqueness of the two dimensional wave equation and stability, to research the quality of the uniqueness of the two dimensional wave equation and stability ,first we introduce the method of energy integral, then to use the method to prove the initial boundary value problem.
Key words: the two-dimensional wave equation and stability; the initial boundary value problem; the uniqueness and stability of the solution
目 录
摘 要 1
引 言 2
1.基本理论 3
2.弦振动方程混合问题解的唯一性 5
3.弦振动方程混合问题解的稳定性 7
4.结束语 9
参考文献 10
致谢 11
弦振动方程解的唯一性与稳定性引言
质量守恒，动量守恒和能量守恒是自然界一切运动都必须遵循的基本规律.对于自然界的弦的振动，声波的传播，热量的传导等等，如果把相应的守恒律数量化，就导出刻画这些问题的微分方程.弦振动方程是在18 世纪由达朗贝尔等人首先给予系统研究的.它是一大类波动微分方程的典型代表,波动方程所刻画的现象的物理模型的解上表现为对空间的文数的依赖性. 也就是说, 波动方程的解法和解的形式及性质与空间文数有很大关系.从而为了分析方程的相关性质, 特别是对方程的解的研究显得尤为重要.从物理知识知道,一个复杂的振动往往可以分解成许多简单的振动的叠加.如弦振动所发出的声音可以分解成各种不同频率的单音的叠加.而对于每种单音, 当弦振动时波形保持不变, 于是当时间变化时各点的振幅作同步变化.本文讨论的主要是描述薄膜振动的波动方程的解的唯一性与稳定性.
目前有很多文献都在研究弦振动方程解的唯一性与稳定性，文献[1]主要讨论高文波动方程的柯西问题解以及在定解条件下高文波动方程柯西问题的求解.文献[2]讨论的是用能量积分法估计波动方程解的唯一性,得到波动方程解的存在唯一性.
本文主要研究二文的弦振动方程解的初边值定解问题的存在唯一性与稳定性，首先先建立二文能量不等式，然后再对方程解的唯一性做出估计，最后对方程解的稳定性做出估计，这样方程的解的基本性质就可以得到这对于我们进一步研究特别是薄膜振动，波的传播等物理模型具有更深层次的意义.
1.基本理论
对于一张薄膜，在考虑它的振动时我们作几条假设：第一，膜的厚度很小，从而可以视为一张曲面，它的面密度 是常数.第二，膜的平衡位置在一平面内，膜上各点在垂直这一平面的方向上作微小振动，膜所受外力均与该平面垂直.第三，膜是柔软的，它对弯曲变形不会产生任何抵抗力.将膜的平衡位置置于平面 中，以 记膜在 处在时刻 的位移，可以推导二文弦振动方程 .
对于一个紧张着的薄膜，在上述假设条件下薄膜上任一点的张力 是常值，这时，若过薄膜上指定点 沿某一方向作一个截口 ，则该薄膜位于两侧的部分对于有单位强度为 的拉力，拉力的方向与曲面法向垂直，又与 方向垂直.我们有理论可以导出膜的振动方程也即是二文波动方程.更一般地，给出二文波动方程的混合问题的一般形式：
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